Calcolatore del teorema dei seni — Triangolo AAS

Ultimo aggiornamento: 2026-05-19

Cosa calcola questo calcolatore

Il teorema dei seni mette in relazione ogni lato di un triangolo con il seno dell'angolo opposto. Inserisci due angoli e il lato opposto a uno di essi (configurazione AAS) e questo calcolatore determina il terzo angolo, i due lati incogniti, l'area e il raggio del cerchio circoscritto.

Il teorema dei seni

Per qualsiasi triangolo con lati $a$, $b$, $c$ e angoli opposti $A$, $B$, $C$:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

Il rapporto comune è uguale al diametro del cerchio circoscritto.

Risoluzione di un triangolo AAS passo dopo passo

Dati: angolo $A$, lato $a$ (opposto ad $A$), angolo $B$

Passo 1: Terzo angolo

$\angle C = 180° - A - B$

Passo 2: Lati incogniti

$b = \frac{a \sin B}{\sin A}, \qquad c = \frac{a \sin C}{\sin A}$

Passo 3: Area

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$

Passo 4: Raggio del cerchio circoscritto

$R = \frac{a}{2 \sin A}$

Esempio svolto

Dati: $A = 30°$, $a = 10$, $B = 45°$

$\angle C = 180° - 30° - 45° = 105°$

$b = \frac{10 \sin 45°}{\sin 30°} = 10\sqrt{2} \approx 14{,}142$

$c = \frac{10 \sin 105°}{\sin 30°} \approx 19{,}319$

$S = \tfrac{1}{2} \times 10 \times 14{,}142 \times \sin 105° \approx 68{,}30$

$R = \frac{10}{2 \sin 30°} = 10$

Verifica: $b / \sin B = 14{,}142 / \sin 45° = 20 = 2R$ — il teorema dei seni è soddisfatto.

Derivazione dal cerchio circoscritto

Si traccia il cerchio circoscritto (raggio $R$) e un diametro dal vertice $A$ al punto $D$. Per il teorema di Talete $\angle ABD = 90°$, quindi $\sin(\angle ADB) = a/(2R)$. Il teorema dell'angolo inscritto dà $\angle ADB = A$, da cui:

$\sin A = \frac{a}{2R} \implies \frac{a}{\sin A} = 2R$

Scelta della formula: seni o coseni

Dati noti	Formula
Due angoli + un lato qualsiasi (AAS o ASA)	Teorema dei seni
Due lati + angolo compreso (LAL)	Teorema dei coseni
Tre lati (LLL)	Teorema dei coseni
Due lati + angolo non compreso (LLA)	Teorema dei seni (attenzione al caso ambiguo)

Il caso ambiguo

Il caso ambiguo si verifica solo nella configurazione LLA. Con AAS il terzo angolo è univoco ($C = 180° − A − B$), quindi il caso ambiguo non si presenta.

Domande frequenti (FAQ)

Quando si usa il teorema dei seni e quando quello dei coseni?

Si usa il teorema dei seni quando si conosce un angolo e il lato opposto (configurazioni AAS o ASA). Si usa il teorema dei coseni quando si hanno due lati e l'angolo compreso (LAL) o i tre lati (LLL). Regola pratica: se l'angolo noto è direttamente di fronte a un lato noto, si applica il teorema dei seni.

Cos'è il caso ambiguo del teorema dei seni?

Il caso ambiguo si verifica nella configurazione LLA (due lati e angolo non compreso). Se a < h = b sen A, il triangolo non esiste. Se h < a < b, esistono due triangoli distinti. Questo calcolatore usa AAS: il terzo angolo è determinato univocamente da C = 180° − A − B, quindi il caso ambiguo non si presenta.

Qual è il legame tra il teorema dei seni e il raggio del cerchio circoscritto?

Il teorema dei seni esteso afferma che a / sen A = b / sen B = c / sen C = 2R, dove R è il raggio del cerchio circoscritto. Da qui si ricava direttamente R = a / (2 sen A). Per un triangolo rettangolo (C = 90°), R = c/2: il raggio è pari alla metà dell'ipotenusa.

Qual è la differenza tra AAS e ASA?

In ASA il lato noto è compreso tra i due angoli. In AAS il lato noto è opposto a uno degli angoli. Entrambe le configurazioni determinano un triangolo unico e si risolvono allo stesso modo: si calcola C = 180° − A − B, poi si applica il teorema dei seni.