Equazione della retta passante per due punti

Ultimo aggiornamento: 2026-05-19

Equazione della retta

Una retta nel piano cartesiano è completamente determinata da due suoi punti. Dati P₁ = (x₁, y₁) e P₂ = (x₂, y₂), la retta che li unisce ha una sola pendenza e può essere scritta in tre forme standard — ognuna adatta a usi diversi.

Le tre forme standard

Forma esplicita: y = mx + b

La forma più usata. m è il coefficiente angolare (variazione di y divisa per la variazione di x) e b è l'intercetta sull'asse y.

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

$b = y_1 - m \cdot x_1$

Quando usarla: per tracciare rapidamente il grafico (partire da (0, b) e avanzare di m per ogni unità verso destra), per leggere subito coefficiente angolare e intercetta.

Forma punto-pendenza: y − y₁ = m(x − x₁)

Usa direttamente uno dei punti dati e la pendenza, senza dover calcolare b prima.

Quando usarla: quando si conoscono un punto e il coefficiente angolare, o come passaggio intermedio nella risoluzione.

Forma generale: Ax + By = C

Tutti i termini su un lato, senza frazioni se le coordinate sono intere. Convenzione: A ≥ 0.

Quando usarla: per risolvere sistemi di equazioni lineari (si possono sommare o sottrarre le equazioni) e per trovare contemporaneamente le intersezioni con entrambi gli assi.

Esempio numerico

Siano dati P₁ = (1, 2) e P₂ = (4, 11).

Coefficiente angolare:

$m = \frac{11 - 2}{4 - 1} = \frac{9}{3} = 3$

Intercetta sull'asse y:

$b = 2 - 3 \cdot 1 = -1$

Le tre forme risultanti sono:

• Forma esplicita: y = 3x − 1
• Forma punto-pendenza: y − 2 = 3(x − 1)
• Forma generale: 3x − y = 1

Verifica: sostituendo x = 4 nella forma esplicita si ottiene y = 3 · 4 − 1 = 11, che coincide con y₂.

Casi speciali

Retta verticale

Se x₁ = x₂, i due punti stanno su una retta verticale. La pendenza è indefinita perché il denominatore x₂ − x₁ = 0 comporterebbe una divisione per zero. L'equazione è semplicemente x = x₁.

Retta orizzontale

Se y₁ = y₂, la retta è orizzontale. La pendenza è 0, l'intercetta è y₁ e le tre forme si semplificano a y = y₁.

Conversione tra le forme

Coefficienti interi nella forma generale

Quando la pendenza è m = p/q (frazione ridotta ai minimi termini), si moltiplicano tutti i termini di y = mx + b per q:

$qy = px + qb \implies px - qy = -qb$

I coefficienti A = p, B = −q e C = −qb risultano interi. Questo calcolatore applica automaticamente questa procedura quando le coordinate inserite sono intere.