Risolvere un'equazione lineare (ax + b = c)

Ultimo aggiornamento: 2026-05-19

Cos'è un'equazione lineare?

Un'equazione lineare in un'incognita è qualsiasi equazione che può essere scritta nella forma:

$$ax + b = c$$

dove $a$, $b$ e $c$ sono numeri noti e $x$ è l'incognita da determinare. "Lineare" significa che $x$ compare solo alla prima potenza — nessun termine $x^2$, $x^3$ né radici. È la classe di equazione più semplice dell'algebra e il punto di partenza per tutti i metodi di grado superiore.

Procedimento: isolare x

Per trovare $x$, si applica la stessa operazione a entrambi i membri dell'equazione fino a quando $x$ rimane isolato.

Passo 1 — sottrarre $b$ da entrambi i membri:

$$ax = c - b$$

Passo 2 — dividere entrambi i membri per $a$ (purché $a \neq 0$):

$$x = \frac{c - b}{a}$$

La soluzione è così completamente determinata.

Esempio svolto

Risolvere $5x + 3 = 23$:

1. Identificare i coefficienti: $a = 5$, $b = 3$, $c = 23$.
2. Sottrarre $b$: $5x = 23 - 3 = 20$.
3. Dividere per $a$: $x = 20 / 5 = 4$.
4. Verifica: $5 \times 4 + 3 = 20 + 3 = 23$ ✓

Regole dei segni

Quando $b$ è negativo — ad esempio $b = -7$ —, sottrarlo equivale ad aggiungere il suo valore assoluto:

$$ax = c - (-7) = c + 7$$

Se $a$ è negativo, la divisione per un numero negativo cambia il segno della soluzione. La formula $x = (c - b) / a$ è valida in tutti i casi, qualunque sia il segno.

Caso degenere: quando a = 0

Se $a = 0$, il termine con $x$ scompare e l'equazione si riduce a $b = c$:

$b = c$ — infinite soluzioni. Qualsiasi numero reale soddisfa l'equazione perché $x$ non vi compare più. Esempio: $0 \cdot x + 4 = 4$ è vera per ogni $x \in \mathbb{R}$.

$b \neq c$ — nessuna soluzione. L'equazione diventa un'affermazione falsa come $4 = 7$. Nessun valore di $x$ può rendere vera un'affermazione falsa.

Dove compaiono le equazioni lineari

Le equazioni lineari sono presenti ovunque nella vita quotidiana e nelle scienze:

• Moto uniforme: $s = v \cdot t$ risolta per $t$: $t = s / v$.
• Conversione di temperatura: Celsius in Fahrenheit $F = 1{,}8C + 32$, risolta per $C = (F - 32) / 1{,}8$.
• Punto di pareggio: il numero di unità $x$ in cui i ricavi eguagliano i costi si ricava da un'equazione lineare.
• Elettrotecnica: la legge di Ohm $V = RI$, risolta per $I = V / R$.

Domande frequenti (FAQ)

Come si risolve ax + b = c?

Si sottraggono b da entrambi i membri per ottenere ax = c − b, poi si divide per a: x = (c − b) / a (con a ≠ 0). Esempio: 3x + 4 = 13 dà x = (13 − 4) / 3 = 3.

Cosa succede se il coefficiente a è zero?

Se a = 0, il termine con x scompare e l'equazione si riduce a b = c. Se b = c (per esempio 0·x + 5 = 5), qualsiasi numero reale è soluzione — infinite soluzioni. Se b ≠ c (per esempio 0·x + 5 = 7), l'equazione è una contraddizione e non ha soluzioni.

La soluzione può essere negativa o frazionaria?

Sì. Ad esempio, 2x + 7 = 3 dà x = −2 (soluzione negativa) e 3x + 1 = 3 dà x = 2/3 (soluzione frazionaria). Il calcolatore mostra automaticamente le frazioni quando il denominatore è al massimo 1000.

Qual è la differenza tra un'equazione lineare e una di secondo grado?

Un'equazione lineare (grado 1) contiene x solo alla prima potenza e ha esattamente una soluzione quando a ≠ 0. Un'equazione di secondo grado contiene x² e può avere 0, 1 o 2 soluzioni reali. L'equazione lineare è il fondamento di tutta l'algebra di grado superiore.