Calcolatore di Logaritmi

Ultimo aggiornamento: 2026-05-18

Che cos'è un logaritmo?

Un logaritmo risponde alla domanda: «a quale potenza devo elevare questa base per ottenere questo numero?» Se $b^y = x$, allora $\log_b(x) = y$. Questo calcolatore valuta simultaneamente le quattro forme logaritmiche più comuni — base qualsiasi, base 10, logaritmo naturale e base 2 — per consentire un confronto diretto.

Le basi logaritmiche

$\log_b(x)$ è la funzione inversa dell'esponenziazione. Poiché $10^3 = 1000$, si ha $\log_{10}(1000) = 3$. La base determina la «scala» utilizzata:

• Base 10 — il logaritmo decimale. Ogni unità sulla scala logaritmica corrisponde a un fattore 10 nel valore originale. Usato in decibel (livello sonoro), pH (acidità) e scala Richter (terremoti).
• Base e ≈ 2,71828 — il logaritmo naturale (ln). Emerge naturalmente nella crescita esponenziale, nell'interesse composto, nel decadimento radioattivo e in numerose formule ingegneristiche. La derivata di $\ln(x)$ è semplicemente $1/x$.
• Base 2 — il logaritmo binario. Ogni unità rappresenta un raddoppio. Usato in teoria dell'informazione (bit), informatica (ricerca binaria, profondità degli alberi) e musica (ottave).

Formule

Per un numero positivo $x$ e una base positiva $b \neq 1$:

Base qualsiasi (formula del cambio di base):

$$\log_b(x) = \frac{\ln x}{\ln b}$$

Logaritmo decimale (base 10):

$$\log_{10}(x) = \frac{\ln x}{\ln 10}$$

Logaritmo naturale (base e):

$$\ln(x) = \log_e(x)$$

Logaritmo binario (base 2):

$$\log_2(x) = \frac{\ln x}{\ln 2}$$

Antilogaritmo — verifica:

$$b^{\log_b(x)} = x$$

La formula del cambio di base

Le calcolatrici scientifiche hanno in genere solo due tasti logaritmici: log (base 10) e ln (base e). Per calcolare $\log_b(x)$ con qualsiasi altra base, si utilizzi:

$$\log_b(x) = \frac{\log_{10}(x)}{\log_{10}(b)} = \frac{\ln(x)}{\ln(b)}$$

Esempio: calcolare $\log_5(125)$

$$\log_5(125) = \frac{\ln 125}{\ln 5} = \frac{4{,}828}{1{,}609} = 3$$

Verifica: $5^3 = 125$ ✓

Esempio svolto: differenza di livello sonoro

Due altoparlanti hanno intensità sonore $I_1 = 0{,}001\ \text{W/m}^2$ e $I_2 = 0{,}000001\ \text{W/m}^2$.

La differenza in decibel è:

$$\Delta dB = 10 \log_{10}\!\left(\frac{I_1}{I_2}\right) = 10 \log_{10}(1000) = 10 \times 3 = 30\ \text{dB}$$

L'altoparlante 1 è 30 dB più forte, ovvero eroga 1.000 volte più potenza acustica.

Applicazioni

Settore	Cosa misura il logaritmo
Suono (decibel)	$dB = 10 \log_{10}(P / P_0)$ — ogni 10 dB corrisponde a 10 volte la potenza
Chimica (pH)	$pH = -\log_{10}[\text{H}^+]$ — pH 4 è 10 volte più acido di pH 5
Terremoti (Richter)	Ogni unità rappresenta 10 volte l'ampiezza del moto del suolo
Finanza	Tasso di crescita continuo: $r = \ln(V_f / V_i) / t$
Informatica	$\log_2(n)$ passi nella ricerca binaria su $n$ elementi
Musica	Ogni ottava raddoppia la frequenza; $\log_2$ conta le ottave

Notazione: log e ln

La notazione «log» è ambigua: in matematica solitamente indica $\ln$ (logaritmo naturale), mentre in scienze e ingegneria di norma indica $\log_{10}$ (logaritmo decimale). Anche i linguaggi di programmazione variano: in Python, math.log(x) calcola il logaritmo naturale, mentre math.log10(x) calcola il logaritmo decimale.

Questo calcolatore mostra tutte e quattro le forme per ogni inserimento, eliminando ogni ambiguità.

Domande frequenti (FAQ)

Come si calcola un logaritmo?

Il logaritmo log_b(x) risponde alla domanda: «a quale potenza bisogna elevare b per ottenere x?». Ad esempio, log₁₀(1000) = 3 perché 10³ = 1000. Per calcolare il logaritmo in una base qualsiasi si usa la formula del cambio di base: log_b(x) = ln(x) / ln(b). Con i tasti «log» (logaritmo decimale) e «ln» (logaritmo naturale) di una qualunque calcolatrice scientifica è possibile ricavare il logaritmo in qualsiasi base.

Qual è la differenza tra log e ln?

In ambito scientifico e ingegneristico, «log» senza specificare la base indica di solito il logaritmo decimale (base 10). «ln» è invece il logaritmo naturale, la cui base è e ≈ 2,71828. Entrambi sono logaritmi: cambia solo la base. Nei testi matematici «log» può riferirsi al logaritmo naturale, quindi è bene verificare sempre il contesto. Questo calcolatore mostra esplicitamente tutti e quattro i valori per eliminare ogni ambiguità.

Cos'è la formula del cambio di base?

La formula del cambio di base permette di calcolare il logaritmo in qualsiasi base usando una normale calcolatrice: log_b(x) = log(x) / log(b) = ln(x) / ln(b). Tutte e tre le forme danno lo stesso risultato. Ad esempio, log₅(125) = ln(125) / ln(5) ≈ 4,828 / 1,609 = 3 (poiché 5³ = 125). Questo calcolatore applica internamente questa formula per gestire qualsiasi base inserita.

Come si calcola il logaritmo in base 2?

log₂(x) indica quante volte occorre moltiplicare 2 per sé stesso per ottenere x. Valori comuni: log₂(2) = 1, log₂(4) = 2, log₂(8) = 3, log₂(1024) = 10. In informatica log₂ corrisponde al numero di bit necessari: per indirizzare 1024 posizioni servono esattamente 10 bit. Per calcolarlo si usa la formula del cambio di base: log₂(x) = ln(x) / ln(2) ≈ ln(x) / 0,6931.