Calcolatore di triangoli (ALA) — Un lato e due angoli

Ultimo aggiornamento: 2026-05-18

Triangolo ALA: un lato e due angoli adiacenti

Il caso ALA (Angolo-Lato-Angolo) si presenta quando si conosce un lato e i due angoli alle sue estremità. Poiché la somma degli angoli interni di qualsiasi triangolo è sempre 180°, il terzo angolo si ottiene per semplice sottrazione. La legge dei seni fornisce poi i lati restanti, e la sua forma estesa dà direttamente il raggio del cerchio circoscritto.

Calcolo del terzo angolo

$C = 180° - A - B$

Questo calcolo non richiede alcuna funzione trigonometrica. Noti due angoli, la forma del triangolo è completamente determinata; la lunghezza del lato ne fissa la scala.

Lati incogniti: legge dei seni

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Con il lato noto $c$ e l'angolo derivato $C$:

$a = \frac{c \sin A}{\sin C}, \qquad b = \frac{c \sin B}{\sin C}$

Esempio numerico — $c = 8$, $A = 50°$, $B = 60°$:

$C = 180° - 50° - 60° = 70°$

$a = \frac{8 \sin 50°}{\sin 70°} \approx \frac{8 \times 0{,}766}{0{,}940} \approx 6{,}527$

$b = \frac{8 \sin 60°}{\sin 70°} \approx \frac{8 \times 0{,}866}{0{,}940} \approx 7{,}378$

Calcolo dell'area

L'area si calcola direttamente dai dati ALA, senza dover trovare prima i lati:

$S = \frac{c^2 \sin A \sin B}{2 \sin C}$

Questa formula evita gli errori di arrotondamento dei calcoli intermedi.

Raggio circoscritto mediante la legge dei seni estesa

Il rapporto comune della legge dei seni è uguale al diametro del cerchio circoscritto:

$\frac{c}{\sin C} = 2R \implies R = \frac{c}{2\sin C}$

Per l'esempio precedente: $R = 8 \div (2\sin 70°) \approx 4{,}257$.

In un triangolo rettangolo ($C = 90°$, $\sin 90° = 1$): $R = c/2$ — il raggio circoscritto è la metà dell'ipotenusa, risultato classico della legge dei seni.

Raggio inscritto

$r = \frac{S}{s}, \quad s = \frac{a + b + c}{2}$

Differenza tra ALA e AAL

Entrambe le configurazioni determinano il triangolo in modo univoco:

• ALA: il lato noto si trova tra i due angoli.
• AAL: il lato noto non si trova tra i due angoli.

Numericamente, i due casi si risolvono in modo identico: si calcola $C$, poi si applica la legge dei seni. La distinzione è rilevante nelle dimostrazioni di congruenza geometrica, ma non influisce sul calcolo numerico.

Caso ambiguo e limiti della legge dei seni

Applicata al caso LLA (due lati e un angolo non incluso), la legge dei seni può produrre due triangoli distinti che soddisfano le stesse misure: il cosiddetto caso ambiguo. Questa calcolatrice lavora esclusivamente con la condizione ALA — il lato noto è compreso tra entrambi gli angoli — eliminando qualsiasi ambiguità.

Domande frequenti (FAQ)

Come si risolve un triangolo conoscendo un lato e i due angoli adiacenti?

Per prima cosa si trova il terzo angolo: C = 180° − A − B. Si applica poi la legge dei seni (a ÷ sin A = c ÷ sin C) per calcolare i lati incogniti: a = c × sin A ÷ sin C e b = c × sin B ÷ sin C. Ad esempio, con c = 8, A = 50°, B = 60°: C = 70°, a = 8 × sin 50° ÷ sin 70° ≈ 6,527 e b = 8 × sin 60° ÷ sin 70° ≈ 7,378.

Cos'è la legge dei seni?

La legge dei seni afferma che in qualsiasi triangolo: a ÷ sin A = b ÷ sin B = c ÷ sin C = 2R, dove R è il raggio del cerchio circoscritto. Questo rapporto comune è uguale al diametro del cerchio circoscritto. Si usa la legge dei seni quando si conosce un angolo e il lato opposto (ALA o AAL); per due lati e un angolo incluso (LAL o LLL), si preferisce la legge dei coseni.

Qual è il legame tra il raggio circoscritto e la legge dei seni?

La forma estesa della legge dei seni fornisce direttamente R = c ÷ (2 sin C). Il raggio circoscritto è pari a qualsiasi lato diviso per il doppio del seno dell'angolo opposto. In un triangolo rettangolo (C = 90°), sin 90° = 1, quindi R = c ÷ 2: il raggio circoscritto è la metà dell'ipotenusa. Nel caso ALA, si calcola R dal lato noto c e dall'angolo derivato C.

Qual è la differenza tra ALA e AAL?

ALA (Angolo-Lato-Angolo) indica che il lato noto è compreso tra i due angoli noti. AAL (Angolo-Angolo-Lato) indica che il lato noto non è compreso tra i due angoli. Entrambe le configurazioni determinano il triangolo in modo univoco, e il calcolo è identico una volta trovato il terzo angolo come 180° − A − B. La distinzione è rilevante nelle dimostrazioni di congruenza geometrica, ma non incide sul calcolo numerico.