Calcolatore di triangoli (LAL) — Due lati e angolo compreso

Ultimo aggiornamento: 2026-05-18

Risolvere un triangolo da due lati e l'angolo compreso (LAL)

Il caso LAL (Lato-Angolo-Lato) si verifica quando sono noti due lati e l'angolo tra loro. Il teorema dei coseni consente di ricavare prima il terzo lato, poi gli angoli restanti, l'area e i raggi dei cerchi circoscritto e inscritto.

Trovare il terzo lato

Dati i lati $a$ e $b$ e l'angolo compreso $C$, il terzo lato $c$ (opposto a $C$) vale:

$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos C}$

Esempio — $a = 5$, $b = 7$, $C = 60°$:

$c = \sqrt{25 + 49 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60°} = \sqrt{74 - 35} = \sqrt{39} \approx 6{,}245$

Per $C = 90°$, $\cos 90° = 0$ e la formula si riduce al teorema di Pitagora.

Area dal LAL

L'area si calcola direttamente dai due lati e dall'angolo compreso, senza bisogno di trovare prima $c$:

$S = \frac{1}{2}\,ab\sin C$

Per l'esempio: $S = \tfrac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \sin 60° = \tfrac{35\sqrt{3}}{4} \approx 15{,}155$.

Ricavare gli angoli restanti

Con $c$ noto, si riapplica il teorema dei coseni per trovare l'angolo $A$:

$A = \arccos\!\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$

Poi $B = 180° - A - C$.

Si può usare anche la legge dei seni: $A = \arcsin(a\sin C \div c)$, ma la forma con il coseno è preferibile perché $\arcsin$ è ambiguo per angoli ottusi.

Raggio circoscritto e inscritto

Con i tre lati e l'area noti:

$R = \frac{abc}{4S}, \qquad r = \frac{S}{s} \quad\text{dove } s = \frac{a+b+c}{2}$

Per il triangolo rettangolo 3-4-5 ($a=3$, $b=4$, $C=90°$): $c=5$, $S=6$, $R=2{,}5$, $r=1$.

LAL o LLL?

Dati	Incognite	Metodo
LLL (3 lati)	Tutti gli angoli	Teorema dei coseni (3×) + formula di Erone
LAL (2 lati + angolo compreso)	3° lato, poi angoli	Teorema dei coseni → LLL

Il LAL è la scelta naturale quando l'angolo viene misurato direttamente con un goniometro o un teodolite. Una volta calcolato il terzo lato, il problema diventa un LLL.

Il caso ambiguo (LLA) — da non confondere con LAL

Il LAL richiede che l'angolo sia compreso tra i due lati noti. Se l'angolo non è tra i due lati, si ottiene il caso ambiguo LLA, che può avere zero, una o due soluzioni. Questo calcolatore risolve esclusivamente il caso LAL, che è sempre univoco.

Domande frequenti (FAQ)

Come si trova il terzo lato di un triangolo conoscendo due lati e l'angolo tra loro?

Si applica il teorema dei coseni: c² = a² + b² − 2ab cos C. Esempio: a = 5, b = 7, C = 60°: c² = 25 + 49 − 2 × 5 × 7 × cos 60° = 74 − 35 = 39, quindi c = √39 ≈ 6,245. Per C = 90°, cos 90° = 0 e la formula si riduce al teorema di Pitagora.

Cos'è il criterio LAL in trigonometria?

LAL (Lato-Angolo-Lato) indica che sono noti due lati e l'angolo compreso tra loro. È uno dei criteri di congruenza dei triangoli: due triangoli sono congruenti se hanno la stessa configurazione LAL. Se l'angolo non è compreso tra i due lati noti, si ha il caso ambiguo LLA, che può avere 0, 1 o 2 soluzioni.

Come si trovano tutti gli angoli dopo aver risolto il caso LAL?

Una volta noto il terzo lato c, si riapplica il teorema dei coseni: A = arccos((b² + c² − a²) ÷ (2bc)), poi B = 180° − A − C. Si può usare anche la legge dei seni: A = arcsin(a sin C ÷ c), ma la forma con il coseno è preferibile perché evita l'ambiguità dell'arcoseno per angoli ottusi.

Quando usare LAL e quando LLL?

Si usa LLL quando si conoscono i tre lati. Si usa LAL quando si conoscono due lati e l'angolo compreso; si calcola prima il terzo lato con il teorema dei coseni, poi si procede come per LLL. In pratica, LAL ricorre spesso quando un angolo viene misurato direttamente con un goniometro o un teodolite, mentre LLL nasce quando si misurano fisicamente tutti e tre i lati.