Calcolatore di triangolo (LLL) — Tre lati

Inserisci i tre lati e calcola tutti gli angoli, l'area, il semiperimetro e i raggi del cerchio circoscritto e inscritto con la legge dei coseni e la formula di Erone.

Dati di input

Triangolo con i lati a, b e c notiUn triangolo in cui il lato a è opposto all'angolo A, il lato b all'angolo B e il lato c all'angolo C.ABCabcA

Risultati

\begin{aligned} A &= \arccos\!\left(\dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right) \\ &= \arccos\!\left(\dfrac{(4)^2 + (5)^2 - (3)^2}{2(4)(5)}\right) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} B &= \arccos\!\left(\dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\right) \\ &= \arccos\!\left(\dfrac{(3)^2 + (5)^2 - (4)^2}{2(3)(5)}\right) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} C &= 180° - A - B \\ &= 180° - ? - ? \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} S &= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ &= \sqrt{(?)((?)-(3))((?)-(4))((?)-(5))} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} s &= \dfrac{a + b + c}{2} \\ &= \dfrac{3 + 4 + 5}{2} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} R &= \dfrac{abc}{4S} \\ &= \dfrac{(3)(4)(5)}{4 \times ?} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} r &= \dfrac{S}{s} \\ &= \dfrac{?}{?} \\ &= ? \end{aligned}

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Triangolo a tre lati noti (caso LLL)

Il caso LLL (tre lati noti) è una configurazione triangolare completamente determinata: noti aa, bb e cc, la legge dei coseni permette di ricavare tutti e tre gli angoli, l'area e i raggi dei cerchi circoscritto e inscritto.

La legge dei coseni

Per un triangolo con lati aa, bb, cc e angoli opposti AA, BB, CC:

cos⁡A=b2+c2−a22bc\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

Quindi A=arccos⁡ ⁣(b2+c2−a22bc)A = \arccos\!\left(\dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right). Si ripete per BB, poi $C = 180° - A - B$.

Esempio — il triangolo 3-4-5:

A=arccos⁡ ⁣(16+25−940)=arccos⁡(0,8)≈36,87°A = \arccos\!\left(\frac{16 + 25 - 9}{40}\right) = \arccos(0{,}8) \approx 36{,}87°

B≈53,13°,C=90°B \approx 53{,}13°, \quad C = 90°

Disuguaglianza triangolare

Non qualsiasi combinazione di tre lunghezze forma un triangolo. Occorre che:

a+b>c,b+c>a,a+c>ba + b > c, \quad b + c > a, \quad a + c > b

Le lunghezze 1, 2 e 10 ad esempio non formano un triangolo perché $1 + 2 = 3 < 10$.

Area con la formula di Erone

Una volta validati i lati, l'area si calcola senza bisogno degli angoli. Prima il semiperimetro:

s=a+b+c2s = \frac{a + b + c}{2}

Poi la formula di Erone:

S=s(s−a)(s−b)(s−c)S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

Per il 3-4-5: $s = 6$, S=36=6S = \sqrt{36} = 6.

Raggio circoscritto e inscritto

Raggio circoscritto RR (cerchio passante per i tre vertici):

R=abc4SR = \frac{abc}{4S}

Raggio inscritto rr (cerchio tangente ai tre lati):

r=Ssr = \frac{S}{s}

Per il 3-4-5: $R = 60/24 = 2{,}5$ e $r = 1$.

In ogni triangolo rettangolo vale $R = c/2$ (metà dell'ipotenusa) — utile come verifica.

Il teorema di Pitagora come caso speciale

Per $C = 90°$, cos⁡90°=0\cos 90° = 0 e la legge dei coseni si riduce a c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2: il teorema di Pitagora è un caso speciale.

Terne pitagoriche più note

abcArea
3456
5121330
8151760
7242584

Ogni multiplo intero positivo di una terna pitagorica è anch'esso una terna pitagorica.

Domande frequenti (FAQ)

Come si calcolano gli angoli di un triangolo conoscendo i tre lati?

Si usa la legge dei coseni: cos A = (b² + c² − a²) ÷ (2bc), quindi A = arccos((b² + c² − a²) ÷ (2bc)). Si ripete per B e poi si calcola C = 180° − A − B. Esempio con lati 3, 4 e 5: A ≈ 36,87°, B ≈ 53,13°, C = 90°.

Cos'è la legge dei coseni e quando si usa?

La legge dei coseni generalizza il teorema di Pitagora a qualsiasi triangolo: c² = a² + b² − 2ab cos C. Si applica nel caso LLL (tre lati noti) per trovare gli angoli e nel caso LAL (due lati e angolo compreso) per trovare il terzo lato. Per C = 90°, cos 90° = 0 e la formula si riduce al teorema di Pitagora.

Come si calcolano i raggi del cerchio circoscritto e inscritto dai tre lati?

Il raggio del cerchio circoscritto R (passa per i tre vertici): R = abc ÷ (4S). Il raggio del cerchio inscritto r (tangente ai tre lati): r = S ÷ s, con s = (a + b + c) ÷ 2. Per il triangolo 3-4-5: S = 6, quindi R = 60 ÷ 24 = 2,5 e r = 6 ÷ 6 = 1.

Tre lunghezze qualsiasi formano sempre un triangolo?

No. La disuguaglianza triangolare richiede che ogni lato sia minore della somma degli altri due: a + b > c, b + c > a e a + c > b. Le lunghezze 1, 2 e 10, ad esempio, non formano un triangolo perché 1 + 2 = 3 < 10. Se vale l'uguaglianza (es. 1, 2, 3), si ottiene un triangolo degenere con area nulla.

Qual è la differenza tra il metodo LLL e la formula di Erone?

La formula di Erone fornisce solo l'area dai tre lati. Il metodo LLL (legge dei coseni) determina anche tutti gli angoli e i raggi dei cerchi circoscritto e inscritto. In pratica si combinano: prima l'area con Erone, poi R = abc ÷ (4S) e r = S ÷ s.

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