Calcolatore del modulo di un vettore

Ultimo aggiornamento: 2026-05-19

Che cos'è il modulo di un vettore?

Il modulo di un vettore è la sua lunghezza — la distanza in linea retta dall'origine alla punta della freccia. Per un vettore v = (v₁, v₂, …, vₙ) nello spazio n-dimensionale, la norma euclidea vale:

$|\mathbf{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}$

Questo calcolatore accetta qualsiasi numero di componenti separate da virgola (ad esempio 3, 4 per il piano o 1, 2, 3 per lo spazio) e restituisce il modulo, il numero di dimensioni e il vettore unitario che punta nella stessa direzione.

Da dove viene la formula

La formula è il teorema di Pitagora esteso a n dimensioni. In 2D, un vettore (a, b) rappresenta l'ipotenusa di un triangolo rettangolo con cateti a e b:

$|\mathbf{v}| = \sqrt{a^2 + b^2}$

In 3D, un vettore (a, b, c) coincide con la diagonale dello spazio di un parallelepipedo rettangolo:

$|\mathbf{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

La stessa logica si estende a qualunque numero di dimensioni: si elevano al quadrato tutte le componenti, si sommano i risultati e si estrae la radice quadrata.

Esempio svolto

Problema: trovare il modulo e il vettore unitario di v = (3, 4, 12).

Passo 1 — elevare al quadrato e sommare le componenti:

$3^2 + 4^2 + 12^2 = 9 + 16 + 144 = 169$

Passo 2 — estrarre la radice quadrata:

$|\mathbf{v}| = \sqrt{169} = 13$

Passo 3 — dividere ogni componente per il modulo per ottenere il vettore unitario:

$\hat{\mathbf{v}} = \left(\frac{3}{13},\ \frac{4}{13},\ \frac{12}{13}\right) \approx (0{,}230769;\ 0{,}307692;\ 0{,}923077)$

Interpretazione: il vettore (3, 4, 12) è lungo 13 unità. Il vettore unitario ne descrive la direzione: percorrendo un'unità di distanza in quella direzione, ci si sposta di 3/13 lungo x, 4/13 lungo y e 12/13 lungo z.

Vettore unitario

Un vettore unitario ha modulo esattamente 1. Conserva la direzione del vettore originale eliminandone l'intensità. Si calcola dividendo ogni componente per |v|:

$\hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} = \left(\frac{v_1}{|\mathbf{v}|},\ \frac{v_2}{|\mathbf{v}|},\ \ldots,\ \frac{v_n}{|\mathbf{v}|}\right)$

I vettori unitari sono onnipresenti:

• Fisica: direzione di forze e velocità, normali alle superfici.
• Computer grafica: calcoli di illuminazione, orientamento della telecamera.
• Machine learning: similarità coseno, normalizzazione dei vettori caratteristica.
• Navigazione: determinare la rotta a partire da uno spostamento vettoriale.

Se il vettore in ingresso è il vettore nullo (tutte le componenti uguali a zero), il suo modulo è 0 e il vettore unitario non esiste — la direzione è indefinita.

Altre norme

La norma euclidea (L²) è la più diffusa, ma in molti contesti compaiono anche le seguenti:

Norma	Formula	Anche nota come	Uso tipico
L¹	Σ |vᵢ|	Manhattan / taxicab	Modelli sparsi (LASSO), distanza su griglia
L²	$\sqrt{\sum v_i^2}$	Euclidea	Geometria, fisica, similarità coseno
L∞	max |vᵢ|	Chebyshev	Distanza sulla scacchiera, teoria del controllo

Questo calcolatore calcola la norma L² (euclidea), che corrisponde al significato standard di «lunghezza» nella maggior parte dei contesti scientifici e ingegneristici.

Applicazioni comuni

• Fisica: calcolare la rapidità (modulo del vettore velocità) o l'intensità di una forza note le sue componenti.
• Computer grafica: normalizzare il vettore normale a una superficie prima dei calcoli di illuminazione.
• Data science: normalizzazione L2 dei vettori caratteristica prima di una ricerca per similarità coseno.
• Robotica: determinare la distanza raggiungibile dall'organo terminale dai vettori di spostamento dei giunti.
• GPS e cartografia: convertire gli spostamenti (ΔEst, ΔNord, ΔAlt) in una distanza totale percorsa.

Consigli per l'uso

• Inserisci le componenti separate da virgola: 3, 4 oppure 1, 2, 3 oppure 0.5, -1.2, 0.8, 2.0.
• Le componenti negative sono ammesse — l'elevamento al quadrato elimina il segno.
• Le componenti decimali funzionano: 1.5, 2.5 dà |v| ≈ 2,915476.
• Una singola componente (ad esempio 5) restituisce modulo 5 e vettore unitario (1) — coerente con la formula.

Domande frequenti (FAQ)

Che cos'è il modulo di un vettore?

Il modulo di un vettore (detto anche norma o lunghezza) è la distanza in linea retta dall'origine alla punta del vettore. Per un vettore v = (v₁, v₂, …, vₙ) nello spazio n-dimensionale, il modulo euclideo è |v| = √(v₁² + v₂² + ⋯ + vₙ²). Questa è la norma euclidea (L²), ossia il teorema di Pitagora esteso a qualunque numero di dimensioni. Ad esempio, per v = (3, 4) si ottiene |v| = √(9 + 16) = 5.

Come si calcola il vettore unitario?

Il vettore unitario è un vettore di modulo esattamente 1 che punta nella stessa direzione del vettore originale. Si ottiene dividendo ogni componente per il modulo: v̂ = v / |v| = (v₁/|v|, v₂/|v|, …, vₙ/|v|).

I vettori unitari si usano ogni volta che interessa solo la direzione e non l'intensità: normali alle superfici in computer grafica, direzioni di forza in fisica, passi del gradiente nel machine learning e vettori caratteristica normalizzati per la similarità coseno.

La formula del modulo vale anche in 3D e in più dimensioni?

La formula |v| = √(Σ vᵢ²) è valida per qualsiasi numero di dimensioni. Per un vettore 3D (a, b, c) dà √(a² + b² + c²), che corrisponde alla diagonale dello spazio di un parallelepipedo rettangolo. Per quattro o più dimensioni la geometria è difficile da visualizzare, ma il calcolo è identico: si sommano i quadrati di tutte le componenti e si estrae la radice. Questo calcolatore accetta qualsiasi numero di valori separati da virgola.

Cosa sono la norma L¹ e la norma L∞?

La norma euclidea (L²) è la più comune, ma ne esistono altre. La norma L¹ (distanza di Manhattan) somma i valori assoluti: ‖v‖₁ = |v₁| + |v₂| + ⋯. Misura la distanza percorsa su una griglia cittadina ed è usata nella regressione LASSO.

La norma L∞ (distanza di Chebyshev) è il massimo valore assoluto tra le componenti: ‖v‖∞ = max(|v₁|, …, |vₙ|). Compare nei problemi di movimenti sulla scacchiera e in alcune analisi di sistemi di controllo. In ambito scientifico e ingegneristico, la norma euclidea rimane lo standard per misurare la lunghezza di un vettore.