Calculadora de cone: volume e área

Calcule o volume, a geratriz, a área lateral e a área total de um cone reto. Informe o raio da base e a altura.

Entradas

Diagrama do coneCone reto mostrando o raio da base r, a altura h do centro da base até o vértice e a geratriz l ao longo da superfície lateral.rhl

Resultados

\begin{aligned} V &= \dfrac{1}{3}\pi r^2 h \\ &= \dfrac{1}{3}\pi (5\,\text{cm})^2 (12\,\text{cm}) \\ &= ?\,\text{cm³} \end{aligned}
\begin{aligned} l &= \sqrt{r^2 + h^2} \\ &= \sqrt{(5\,\text{cm})^2 + (12\,\text{cm})^2} \\ &= ?\,\text{m} \end{aligned}
\begin{aligned} A_{lat} &= \pi r l \\ &= \pi (5\,\text{cm})(?\,\text{m}) \\ &= ?\,\text{cm²} \end{aligned}
\begin{aligned} A_{tot} &= \pi r (r + l) \\ &= \pi (5\,\text{cm})((5\,\text{cm}) + (?\,\text{m})) \\ &= ?\,\text{cm²} \end{aligned}

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O que esta calculadora faz

Esta calculadora determina quatro propriedades de um cone reto — aquele em que o vértice fica diretamente acima do centro da base circular. Informe o raio da base e a altura para obter o volume, a geratriz, a área lateral e a área total.

Fórmulas

Para um cone com raio da base r e altura perpendicular h:

PropriedadeFórmula
Geratrizl=r2+h2l = \sqrt{r^2 + h^2}
VolumeV = (1/3)πr²h
Área lateralA_lat = πrl
Área totalA_tot = πr(r + l)

Geratriz

A geratriz l é a distância em linha reta do vértice até qualquer ponto da borda da base, medida ao longo da superfície lateral. Como r, h e l formam um triângulo retângulo, o teorema de Pitágoras fornece diretamente: l=r2+h2l = \sqrt{r^2 + h^2}.

A geratriz é essencial quando se precisa recobrir a superfície de um cone — papel cartão, chapas metálicas, tecido. A superfície lateral desenvolvida forma um setor circular com raio l e arco 2πr.

Relação entre o cone e o cilindro

O fator 1/3 em V = (1/3)πr²h é um dos resultados mais antigos da geometria espacial. Euclides demonstrou nos Elementos (Livro XII, Proposição 10) que um cilindro com a mesma base e altura pode ser preenchido por exatamente três cones idênticos.

Experimentalmente, encher o cone três vezes e despejar no cilindro equivalente confirma que ele fica completamente cheio. Matematicamente, o fator 1/3 surge ao integrar as seções circulares da base até o vértice.

Exemplo prático

Uma casquinha de sorvete comum tem raio da base de cerca de 3 cm e altura de 12 cm.

Geratriz: l=32+122=9+144=153≈12,4l = \sqrt{3^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 144} = \sqrt{153} \approx 12{,}4 cm

Volume: V = (1/3) × π × 3² × 12 = (1/3) × π × 108 ≈ 113,1 cm³

Área lateral (a superfície crocante da casquinha): A_lat = π × 3 × 12,4 ≈ 116,9 cm²

Área total (incluindo a base): A_tot = π × 3 × (3 + 12,4) ≈ 145,2 cm²

Um cone de sinalização de trânsito tem r ≈ 15 cm e h ≈ 70 cm, com volume de aproximadamente 16,5 litros e área lateral de cerca de 3.376 cm².

Validade: apenas cones retos

As fórmulas são válidas para o cone reto, em que o eixo é perpendicular à base. No cone oblíquo (vértice deslocado lateralmente), a fórmula do volume V = (1/3)πr²h continua válida se h for a altura perpendicular real, mas a expressão da área lateral é diferente e mais complexa. Na prática, quase todos os cones do cotidiano — casquinhas, funis, cones de sinalização, chapéus de festa — são cones retos, e esta calculadora cobre a grande maioria dos casos.

Perguntas frequentes (FAQ)

Como calcular o volume de um cone?

O volume de um cone reto é V = (1/3)πr²h, onde r é o raio da base e h é a altura perpendicular. Por exemplo, para r = 5 cm e h = 12 cm: V = (1/3) × π × 25 × 12 ≈ 314,2 cm³.

Por que o volume do cone é um terço do cilindro?

Um cilindro com a mesma base e a mesma altura pode ser preenchido por exatamente três cones idênticos. Euclides demonstrou isso nos Elementos (Livro XII, Proposição 10). O resultado pode ser verificado experimentalmente: enchendo o cone três vezes e despejando no cilindro, ele fica completamente cheio.

Como calcular a geratriz de um cone?

A geratriz l é a distância do vértice até qualquer ponto da borda da base, medida ao longo da superfície lateral. Pelo teorema de Pitágoras: l = √(r² + h²). Para r = 5 cm e h = 12 cm: l = √(25 + 144) = √169 = 13 cm.

Como calcular a área total de um cone?

A área total é a soma da área lateral e da base circular. Área lateral = πrl; área da base = πr². Área total = πr(r + l). Para r = 5 cm e l = 13 cm: área total = π × 5 × (5 + 13) = 90π ≈ 282,7 cm².

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