Última atualização: 2026-05-18

O triângulo isósceles retângulo (45-45-90)

Um triângulo isósceles retângulo tem dois ângulos de 45° e um ângulo reto de 90°. Por ser isósceles, seus dois catetos são iguais; por ser retângulo, contém um ângulo de exatamente 90°. A proporção entre os lados é $1 : 1 : \sqrt{2}$, uma das duas razões especiais mais importantes da geometria, ao lado de $1 : \sqrt{3} : 2$ do triângulo 30-60-90.

Relação com o quadrado

Ao traçar a diagonal de um quadrado de lado $l$, obtêm-se dois triângulos isósceles retângulos congruentes. Cada cateto corresponde ao lado do quadrado e a hipotenusa corresponde à sua diagonal. É exatamente por isso que $\sqrt{2}$ aparece com tanta frequência na geometria: ele é a razão entre a diagonal e o lado de um quadrado.

Fórmulas

Seja $l$ o comprimento do cateto.

Grandeza	Fórmula
Hipotenusa $c$	$l\sqrt{2}$
Área $S$	$l^2 / 2$
Perímetro $P$	$l(2 + \sqrt{2})$

Dado conhecido	Cateto $l$	Hipotenusa $c$	Área $S$
A partir do cateto $l$	—	$l\sqrt{2}$	$l^2/2$
A partir da hip. $c$	$c/\sqrt{2}$	—	$c^2/4$
A partir da área $S$	$\sqrt{2S}$	$2\sqrt{S}$	—

Exemplo resolvido

Para $l = 5$:

$c = 5\sqrt{2} \approx 7{,}071, \quad S = \frac{25}{2} = 12{,}5, \quad P = 5(2+\sqrt{2}) \approx 17{,}07$

Derivação das fórmulas

Hipotenusa: Aplica-se o teorema de Pitágoras aos catetos iguais $l$:

$c = \sqrt{l^2 + l^2} = \sqrt{2l^2} = l\sqrt{2}$

Área: Base e altura são ambas $l$ (os catetos são perpendiculares entre si):

$S = \frac{1}{2} \cdot l \cdot l = \frac{l^2}{2}$

A partir da hipotenusa: $l = c/\sqrt{2}$, logo $S = l^2/2 = (c/\sqrt{2})^2/2 = c^2/4$.

A partir da área: $S = l^2/2$ resulta em $l = \sqrt{2S}$, e então $c = l\sqrt{2} = \sqrt{4S} = 2\sqrt{S}$.

Propriedades adicionais

• É o único triângulo que é simultaneamente isósceles e retângulo.
• Raio da circunferência circunscrita: $R = c/2$ (o ângulo reto é inscrito no semicírculo de diâmetro $c$).
• Raio da circunferência inscrita: $r = l(2-\sqrt{2})/2$.

Aplicações

O triângulo isósceles retângulo aparece com frequência em geometria, engenharia e trigonometria. Ao dividir um quadrado de lado $l$ pela diagonal, cada metade é um triângulo isósceles retângulo com hipotenusa $l\sqrt{2}$. Em projetos de construção e marcenaria, o esquadro de 45° corresponde fisicamente a um triângulo desse tipo. Em trigonometria, os valores exatos $\sin 45° = \cos 45° = \tfrac{\sqrt{2}}{2}$ e $\tan 45° = 1$ derivam diretamente da proporção $1:1:\sqrt{2}$.

Para verificar ou estender a relação entre os lados, utilize a Calculadora do Teorema de Pitágoras. Para calcular a área de triângulos em geral, consulte a Calculadora de área do triângulo.

Perguntas frequentes (FAQ)

Qual é a relação entre os lados de um triângulo 45-45-90?

Um triângulo 45-45-90 tem dois catetos iguais e uma hipotenusa. A proporção entre os lados é cateto : cateto : hipotenusa = 1 : 1 : √2. Se cada cateto mede l, a hipotenusa vale l√2 ≈ 1,414l. Por exemplo, com cateto = 5, a hipotenusa é 5√2 ≈ 7,071. Esse triângulo surge naturalmente ao se cortar um quadrado pela diagonal: cada metade é um triângulo isósceles retângulo congruente.

Como calcular a hipotenusa de um triângulo isósceles retângulo a partir dos catetos?

Aplica-se o teorema de Pitágoras: c = √(l² + l²) = √(2l²) = l√2. Para l = 5: c = 5√2 ≈ 7,071. A área é S = l²/2 (base e altura coincidem com l) e o perímetro é P = 2l + l√2 = l(2 + √2) ≈ 3,414l.

Como descobrir os catetos de um triângulo isósceles retângulo sabendo a hipotenusa?

Isolando l em l√2 = c, obtém-se l = c ÷ √2 = c√2 ÷ 2. Para c = 10: l = 10 ÷ √2 ≈ 7,071. A área é S = c²/4 (pois S = l²/2 = (c/√2)²/2 = c²/4) e o perímetro é P = c(1 + √2) ≈ 2,414c.