Última atualização: 2026-07-01

O ângulo entre dois vetores

Dois vetores que compartilham um ponto de partida abrem um ângulo entre si. Esse ângulo mede o quanto os vetores estão alinhados: um ângulo pequeno indica que apontam quase na mesma direção, um ângulo reto que são perpendiculares e um ângulo raso que apontam em sentidos opostos. O produto escalar transforma essa ideia geométrica em uma fórmula que se calcula diretamente a partir das componentes.

A fórmula

O produto escalar de dois vetores se relaciona com o ângulo que formam por

Isolando o ângulo, obtém-se a fórmula de trabalho:

A fração interna é o cosseno do ângulo. Como dividir pelos módulos elimina os comprimentos, só importam as direções: multiplicar qualquer um dos vetores por um fator não altera o ângulo.

As partes

• Produto escalar: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$.
• Módulo: $|\mathbf{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$, e analogamente para $\mathbf{b}$.
• Cosseno: divide-se o produto escalar pelo produto dos módulos. O resultado sempre cai entre −1 e 1.
• Ângulo: aplica-se o arco cosseno. A resposta fica entre 0° e 180°.

Exemplo resolvido

Sejam a = (1, 0, 0) e b = (1, 1, 0).

O produto escalar é

Os módulos são

Logo, o cosseno do ângulo é

e o ângulo

Verificação de ortogonalidade

O ângulo reto é o caso mais fácil de identificar. Quando o produto escalar é exatamente zero, o cosseno é zero e o ângulo é 90°: os vetores são perpendiculares, ou ortogonais. Para a = (1, 0) e b = (0, 1) o produto escalar é $(1)(0) + (0)(1) = 0$, então o ângulo entre eles é 90°. É por isso que testar $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$ é a maneira usual de verificar se duas direções estão em ângulo reto.

Mesma direção e direções opostas

Outros dois casos de referência limitam o intervalo:

• Quando os vetores apontam na mesma direção, o cosseno é 1 e o ângulo é 0°.
• Quando apontam em direções opostas, o cosseno é −1 e o ângulo é 180°.

Qualquer outro par fica entre esses extremos, e é por isso que o ângulo entre dois vetores sempre cai no intervalo de 0° a 180°.

Graus ou radianos

O mesmo ângulo pode ser lido em qualquer uma das unidades. Os graus dividem uma volta completa em 360 partes; os radianos medem o ângulo como comprimento de arco na circunferência unitária, com uma volta completa igual a $2\pi$. A conversão é $180° = \pi\ \text{rad}$, de modo que 45° é $\pi/4$ e 90° é $\pi/2$. Troque a unidade no resultado para ver a forma que o seu problema exigir.

2D e 3D

A fórmula é idêntica em duas e três dimensões — muda apenas o número de produtos de componentes. Para um problema plano em 2D, deixe ambas as componentes z em 0; o produto escalar, os módulos e o ângulo saem iguais como se os termos em z nunca tivessem existido.

Onde aparece

• Física: o trabalho realizado por uma força depende do ângulo entre a força e o deslocamento, $W = |\mathbf{F}|\,|\mathbf{d}|\cos\theta$.
• Computação gráfica: o ângulo entre a normal de uma superfície e a direção da luz determina o quão iluminada a superfície fica.
• Navegação e geometria: encontrar a diferença de rumo entre duas direções, ou o ângulo de um vértice a partir dos vetores das arestas.
• Aprendizado de máquina: a similaridade do cosseno entre vetores de características é exatamente o cosseno do ângulo calculado aqui.