Última atualização: 2026-05-13

A equação do segundo grau

Uma equação do segundo grau é aquela cujo termo de maior grau é $x^2$. Sua forma padrão é:

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$

Os coeficientes $a$, $b$ e $c$ são números reais. A condição $a \neq 0$ é indispensável — caso contrário, a equação seria do primeiro grau.

A fórmula de Bhaskara

As raízes da equação do segundo grau são obtidas pela fórmula de Bhaskara:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

O sinal ± gera duas raízes:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \qquad x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

O discriminante

A expressão $\Delta = b^2 - 4ac$ sob o radical é chamada de discriminante (também denotado $D$ em outros países; a calculadora acima usa $D$). Seu sinal determina a natureza das raízes:

Discriminante	Natureza das raízes
$\Delta > 0$	duas raízes reais distintas
$\Delta = 0$	uma raiz real dupla
$\Delta < 0$	duas raízes complexas conjugadas

Raiz dupla ($\Delta = 0$)

Quando o discriminante é zero, as duas raízes coincidem:

$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$

Esse valor corresponde à abscissa do vértice da parábola associada.

Raízes complexas ($\Delta < 0$)

Se o discriminante é negativo, $\sqrt{\Delta}$ não tem valor real. As raízes passam a ser números complexos:

$x = \alpha \pm \beta i$

onde

$\alpha = -\frac{b}{2a}, \qquad \beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2|a|}$

$\alpha$ é a parte real e $\beta$ é a parte imaginária. Em equações com coeficientes reais, as raízes complexas sempre aparecem em pares conjugados.

Exemplo: $x^2 - 3x + 2 = 0$

Com $a = 1$, $b = -3$, $c = 2$:

$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$

$x_1 = 2, \qquad x_2 = 1$

Relação com a parábola

As raízes de $ax^2 + bx + c = 0$ são as abscissas dos pontos em que a parábola $y = ax^2 + bx + c$ intersecta o eixo $x$.

• $\Delta > 0$: a parábola corta o eixo em dois pontos distintos.
• $\Delta = 0$: a parábola toca o eixo em um único ponto (vértice sobre o eixo).
• $\Delta < 0$: a parábola não tem interseção real com o eixo $x$.

Como usar a calculadora

Insira os coeficientes $a$, $b$ e $c$ e a calculadora determina automaticamente o discriminante e as raízes.

• Discriminante $\geq 0$: as raízes $x_1$ e $x_2$ aparecem na seção "Raízes reais".
• Discriminante $< 0$: a parte real $\alpha$ e a parte imaginária $\beta$ aparecem em "Raízes complexas".

Perguntas frequentes (FAQ)

O que é a fórmula de Bhaskara?

Para ax² + bx + c = 0, as raízes são x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a). O ± gera duas raízes, geralmente chamadas x₁ (com +) e x₂ (com −). Essas raízes são os pontos de interseção da parábola y = ax² + bx + c com o eixo x.

O que o discriminante indica?

O discriminante D = b² − 4ac determina a natureza das raízes. Se D > 0, há duas raízes reais distintas. Se D = 0, há uma única raiz real dupla (x₁ = x₂ = −b ÷ 2a). Se D < 0, as raízes são complexas conjugadas e não existem raízes reais.

Quais são as raízes complexas quando D < 0?

Quando o discriminante é negativo, as raízes são complexas conjugadas: x = α ± βi, onde α = −b ÷ (2a) é a parte real e β = √(−D) ÷ (2|a|) é a parte imaginária. Em equações com coeficientes reais, as raízes complexas sempre aparecem em pares conjugados.