Última atualização: 2026-05-19

Comprimento de arco

O comprimento de arco é a distância medida ao longo de um arco circular entre dois pontos. Ele depende de duas grandezas: o raio r do círculo e o ângulo central θ. Esse conceito aparece em geometria, engenharia, arquitetura e no conteúdo de matemática do ensino médio e superior.

Esta calculadora determina três valores a partir de r e θ:

• Comprimento de arco s — distância curva ao longo da circunferência
• Comprimento da corda c — distância em linha reta entre os dois extremos
• Fração da circunferência f — que parte do círculo completo o arco representa

A fórmula do comprimento de arco

$s = r \cdot \theta$

θ deve estar em radianos. A fórmula decorre da definição do radiano: um radiano é o ângulo que subtende um arco igual ao raio.

Fundamento matemático

A circunferência completa é 2πr (para θ = 2π radianos). A fração θ/(2π) do círculo dá:

$s = 2\pi r \cdot \frac{\theta}{2\pi} = r\theta$

A saída «Fração da Circunferência» f = θ/(2π) vem diretamente dessa relação.

Cálculo em graus

No dia a dia os ângulos costumam ser dados em graus. A conversão é:

$\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{graus}} \times \frac{\pi}{180}$

Ou diretamente:

$s = 2\pi r \times \frac{\theta_{\text{graus}}}{360}$

Exemplo: r = 8 m, θ = 135°

• Conversão: 135° × π/180 = 3π/4 ≈ 2,356 rad
• Comprimento de arco: s = 8 × 2,356 ≈ 18,85 m
• Fração: 135/360 = 0,375 (três oitavos do círculo)

Esta calculadora aceita graus diretamente, sem conversão manual.

Comprimento da corda

A corda é a reta que liga os dois extremos do arco e é sempre mais curta do que ele:

$c = 2r \sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right)$

Exemplo: r = 10 m, θ = 90° (π/2 rad)

Grandeza	Fórmula	Valor
Comprimento de arco s	10 × π/2	≈ 15,71 m
Comprimento da corda c	2 × 10 × sin 45°	= $10\sqrt{2} \approx$ 14,14 m
Fração f	90 / 360	= 0,25

O arco é cerca de 11% mais longo que a corda neste caso.

Ângulos especiais

Ângulo central	Comprimento de arco	Comprimento da corda	Observação
60°	πr/3	r	Corda = raio (triângulo equilátero)
90°	πr/2	$r\sqrt{2}$	Quarto de círculo
180°	πr	2r	Corda = diâmetro
360°	2πr	0	Circunferência completa; extremos coincidem

Perguntas frequentes (FAQ)

Como se calcula o comprimento de arco?

O comprimento de arco s é calculado por s = r · θ, onde θ está em radianos. Para raio 5 m e ângulo 2 radianos, s = 10 m. A fórmula deriva da definição do radiano: 1 radiano é o ângulo que subentende um arco igual ao raio. Se o ângulo estiver em graus, converta antes: θ_rad = θ_graus × π / 180.

Como calcular comprimento de arco em graus?

Use s = 2πr × (θ° / 360), equivalente a converter para radianos primeiro. Exemplo: r = 10 m, θ = 90° → s = 2π × 10 × 0,25 = 5π ≈ 15,71 m. Esta calculadora aceita graus diretamente, sem conversão manual.

Qual a diferença entre comprimento de arco e comprimento da corda?

O comprimento de arco s = r · θ é a distância curva ao longo do círculo; a corda c = 2r · sin(θ/2) é a distância reta entre os dois extremos. A corda é sempre menor ou igual ao arco. Para r = 10 m e θ = 90°: arco ≈ 15,71 m, corda = 10√2 ≈ 14,14 m. A θ = 180°, a corda iguala o diâmetro 2r.

Como o comprimento de arco se relaciona com a circunferência?

A circunferência C = 2πr é o comprimento de arco do círculo completo (θ = 2π radianos = 360°). Qualquer arco é uma fração da circunferência: s = C × (θ / 2π). A saída 'Fração da Circunferência' f = θ / 2π indica isso diretamente: f = 0,25 corresponde a um quarto de círculo.