Última atualização: 2026-05-19

Variância e desvio padrão

A variância é a média dos quadrados dos desvios de cada valor em relação à média do conjunto. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância e retorna a medida à mesma unidade dos dados originais. Ambas quantificam a dispersão de um conjunto numérico: quanto maior o valor, mais espalhados estão os dados ao redor da média.

Mecanismo: a razão de elevar ao quadrado

Os desvios brutos (xᵢ − x̄) somam sempre zero — os desvios positivos cancelam os negativos. Elevar cada desvio ao quadrado antes de somá-los elimina o cancelamento e amplifica valores extremos. A raiz quadrada final (o desvio padrão) desfaz o quadrado e devolve a escala original.

Fórmulas principais

Média

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$

Soma dos Quadrados dos Desvios

$SQ = \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$

SQ é o numerador compartilhado pelas duas fórmulas de variância e mede a dispersão total dos dados ao redor da média.

Variância e Desvio Padrão Populacionais

$\sigma^2 = \frac{SQ}{n} \qquad \sigma = \sqrt{\sigma^2}$

Variância e Desvio Padrão Amostrais

$s^2 = \frac{SQ}{n-1} \qquad s = \sqrt{s^2}$

Correção de Bessel: a razão de n−1

Ao calcular a variância de uma amostra, a média amostral x̄ é estimada com os mesmos dados que estão sendo analisados. Os valores amostrais tendem a se concentrar mais ao redor de x̄ do que ao redor da verdadeira média populacional μ (desconhecida). Por isso, dividir por n subestima a dispersão real da população.

Substituir n por n−1 infla a estimativa o suficiente para torná-la não viesada — em média, s² é igual a σ² independentemente da amostra sorteada. O grau de liberdade "perdido" reflete o fato de que, conhecendo x̄ e n−1 dos valores, o último valor fica determinado; ele não acrescenta nova informação sobre a dispersão.

Um exemplo simples: ao retirar milhares de amostras de tamanho 2 de uma população com σ² = 100, a média de todos os estimadores SQ/n fica próxima de 50, enquanto a média de todos os estimadores SQ/(n−1) fica próxima de 100. A correção é mais relevante para n pequeno; conforme n cresce, n−1 ≈ n e as duas fórmulas convergem.

Exemplo resolvido: 4, 8, 15, 16, 23, 42

Use o conjunto padrão da calculadora — 4, 8, 15, 16, 23, 42 — para acompanhar cada passo.

Passo 1 — Calcular a média.

$\bar{x} = \frac{4 + 8 + 15 + 16 + 23 + 42}{6} = \frac{108}{6} = 18$

Passo 2 — Calcular os desvios ao quadrado.

xᵢ	xᵢ − x̄	(xᵢ − x̄)²
4	−14	196
8	−10	100
15	−3	9
16	−2	4
23	+5	25
42	+24	576
SQ		910

Passo 3a — Estatísticas amostrais (n = 6).

$s^2 = \frac{910}{5} = 182 \qquad s = \sqrt{182} \approx 13{,}49$

Passo 3b — Estatísticas populacionais (n = 6).

$\sigma^2 = \frac{910}{6} \approx 151{,}67 \qquad \sigma = \sqrt{151{,}67} \approx 12{,}32$

Amostra ou população: qual escolher

Situação	Use
Dados de todos os elementos do grupo	População (÷ n)
Dados de um subconjunto de um grupo maior	Amostra (÷ n−1)
n muito grande (milhares ou mais)	Qualquer uma — elas convergem

Exemplos populacionais: as cinco notas bimestrais de um aluno específico ao longo do ano; os tempos de volta de um piloto em cada etapa de uma corrida.

Exemplos amostrais: alturas de 50 adultos selecionados aleatoriamente para estimar a variância da população adulta; medições de qualidade em 30 peças de um lote de produção de 10.000 unidades.

Na dúvida, a variância amostral é a escolha estatisticamente conservadora: reconhece que os dados disponíveis não cobrem toda a população.

Interpretação do desvio padrão

O desvio padrão (σ ou s) é a medida de dispersão mais intuitiva porque permanece na mesma unidade dos dados originais. Se as notas de uma turma têm s = 8 pontos, é possível afirmar diretamente que a maioria dos alunos está a cerca de 8 pontos da média.

Para uma distribuição normal, as seguintes regras empíricas valem:

Intervalo	Contém aproximadamente
μ ± 1σ	68% dos valores
μ ± 2σ	95% dos valores
μ ± 3σ	99,7% dos valores

Essas regras são aproximadas para dados não normais, mas servem como verificação rápida. Um valor a mais de 2σ da média é candidato a investigação como possível valor atípico.

Unidade da variância

A variância é medida no quadrado da unidade dos dados originais. Alturas em centímetros produzem variância em cm²; valores em reais produzem variância em R$². Isso torna a variância difícil de interpretar diretamente — uma variância de 2.500 cm² não tem apelo visual imediato.

O desvio padrão resolve esse problema ao extrair a raiz quadrada, devolvendo a medida à unidade original. Por isso o desvio padrão aparece em contextos práticos — previsão do tempo, retorno de investimentos, controle de qualidade industrial — enquanto a variância geralmente fica como etapa intermediária do cálculo.

Perguntas frequentes (FAQ)

Quando usar variância amostral ou populacional?

Use variância amostral (divide por n−1) quando seus dados são um subconjunto de um grupo maior e você quer estimar a variância desse grupo. Por exemplo, ao medir a altura de 30 alunos numa escola de 500, use variância amostral. Use variância populacional (divide por n) apenas quando seus dados contêm todos os elementos do grupo — por exemplo, as notas de todos os cinco jogadores de um time de basquete.

Por que a variância amostral divide por n−1 e não por n?

Dividir por n subestima sistematicamente a variância real da população, porque os valores amostrais tendem a se agrupar ao redor da média amostral, e não da média verdadeira da população. Dividir por n−1 (correção de Bessel) infla a estimativa o suficiente para torná-la não viesada em média. O grau de liberdade "perdido" reflete o fato de que a média amostral já foi estimada com os mesmos dados.

Qual é a unidade de medida da variância?

A variância é expressa no quadrado da unidade original dos dados. Se os dados estão em metros, a variância está em m²; se estão em reais, está em R$². Por isso o desvio padrão (raiz quadrada da variância) é mais fácil de interpretar — ele fica na mesma unidade dos dados originais. Por exemplo, se as notas de uma turma têm desvio padrão de 8 pontos, dá para dizer diretamente que a maioria dos alunos está a menos de 8 pontos da média.

Como o desvio padrão se relaciona com o escore Z?

O escore Z mede quantos desvios padrão um valor está acima ou abaixo da média: z = (x − μ) / σ. O desvio padrão é a régua usada para expressar essa distância. Um escore Z igual a 1 significa que o valor está exatamente um desvio padrão acima da média; um escore Z de −2 indica dois desvios padrão abaixo. Em uma distribuição normal, cerca de 68% dos valores ficam dentro de um desvio padrão da média, e aproximadamente 95% dentro de dois.