Última atualização: 2026-05-26

Integral definida

A integral definida mede a área com sinal entre uma função e o eixo x em um intervalo fechado $[a, b]$:

$\int_a^b P(x)\,dx$

"Com sinal" significa que as regiões abaixo do eixo x contribuem com valor negativo. Se a curva desce abaixo de zero em parte do intervalo, essa porção é subtraída do total. O resultado é um número, não uma função.

Teorema Fundamental do Cálculo

A ferramenta central que torna a integração definida prática é o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC):

$\int_a^b P(x)\,dx = F(b) - F(a)$

onde $F(x)$ é qualquer primitiva de $P(x)$ — uma função que satisfaz $F'(x) = P(x)$.

Em vez de somar infinitos retângulos infinitesimais, basta:

1. Encontrar a primitiva $F(x)$.
2. Avaliar $F$ nos dois limites.
3. Subtrair.

Regra da potência para integração

Para polinômios, a primitiva de cada termo é obtida pela regra da potência:

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad (n \neq -1)$

Aplicando essa regra a cada termo, é possível integrar qualquer polinômio de forma exata.

Exemplo — ∫₀² (3x² − 1) dx:

Termo	Regra da potência	Termo da primitiva
$3x^2$	$3 \cdot \dfrac{x^3}{3}$	$x^3$
$-1$	$-1 \cdot \dfrac{x^1}{1}$	$-x$

Portanto, $F(x) = x^3 - x$.

$\int_0^2 (3x^2 - 1)\,dx = F(2) - F(0) = (8 - 2) - (0 - 0) = 6$

Como informar os coeficientes

Insira os coeficientes do polinômio do grau mais alto para o mais baixo, separados por vírgula.

Polinômio	Entrada dos coeficientes
$x^2$	1, 0, 0
$3x^2 - 1$	3, 0, -1
$2x^3 + x - 5$	2, 0, 1, -5
$7$ (constante)	7

O número de valores determina o grau: quatro valores correspondem a um polinômio de grau 3.

Área com sinal e inversão dos limites

A integral definida fornece área com sinal, o que tem duas consequências importantes:

Quando a curva está abaixo do eixo x: as contribuições são negativas. Por exemplo, $\int_0^1 (-x)\,dx = -\tfrac{1}{2}$, ainda que a região geométrica tenha área $\tfrac{1}{2}$.

Quando $a > b$: a integral é o negativo da integração de $b$ a $a$:

$\int_a^b P(x)\,dx = -\int_b^a P(x)\,dx$

Isso não é um erro — trata-se de uma propriedade fundamental da integral. A calculadora lida com esse caso corretamente: inserir $a = 2, b = 0$ retorna o negativo de $a = 0, b = 2$.

Constante de integração

Na integral indefinida escreve-se $F(x) + C$, onde $C$ é uma constante arbitrária. Na integral definida, $C$ se cancela:

$[F(x) + C]_a^b = (F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$

Por isso, a constante de integração é irrelevante para integrais definidas e é omitida na primitiva exibida aqui.

Quando utilizar integração numérica

A regra da potência se aplica apenas a polinômios ($x^n$ com $n$ inteiro não negativo). Para outras funções, são necessários métodos numéricos:

Tipo de função	Abordagem
$\operatorname{sen} x$, $\cos x$, $e^x$	Primitivas conhecidas (resultado exato)
Racional, algébrica	Frações parciais, substituição
Sem primitiva em forma fechada	Regra de Simpson, quadratura de Gauss

Se o integrando não puder ser expresso como um polinômio, esta calculadora não é a ferramenta adequada — utilize um método de integração numérica ou um sistema de álgebra computacional.

Aplicações práticas

Integrais definidas aparecem em diversas áreas da ciência e da engenharia:

• Física: deslocamento a partir da velocidade ($\int v\,dt$), trabalho realizado por uma força ($\int F\,dx$).
• Economia: excedente do consumidor (área entre a curva de demanda e o nível de preço).
• Probabilidade: a probabilidade de uma variável aleatória contínua assumir valores em $[a, b]$ é $\int_a^b f(x)\,dx$, onde $f$ é a função de densidade.
• Geometria: área entre duas curvas, volume de sólidos de revolução.

Perguntas frequentes (FAQ)

Esta calculadora integra qualquer função?

Esta calculadora trata exclusivamente de polinômios — funções da forma P(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀. Para esses casos, a primitiva é obtida termo a termo pela regra da potência, produzindo um resultado exato, sem erro de aproximação. Para integrar funções não polinomiais (sen x, eˣ, ln x etc.), é necessário recorrer a métodos de integração numérica, como a regra de Simpson ou a quadratura de Gauss.

O que acontece quando o limite inferior é maior que o superior (a > b)?

O cálculo ainda produz a área com sinal correto. Pela propriedade das integrais definidas, ∫_a^b P(x) dx = −∫_b^a P(x) dx. Portanto, quando a > b, o resultado é simplesmente o negativo da integral calculada de b a a. Essa propriedade é matematicamente válida e útil em aplicações como integrais duplas e integrais de fluxo.

O que é a primitiva e por que ela é útil?

A primitiva F(x) de P(x) é uma função cuja derivada é igual a P(x). Para um monômio aₙxⁿ, a regra da potência fornece aₙxⁿ⁺¹/(n+1). Para integrar um polinômio, aplica-se essa regra a cada termo e somam-se os resultados. O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece então que ∫_a^b P(x) dx = F(b) − F(a), reduzindo o problema de integração a uma simples substituição.

Por que a constante de integração não aparece no resultado?

Ao avaliar uma integral definida, a constante de integração C se cancela: [F(x) + C] avaliado de a a b resulta em (F(b) + C) − (F(a) + C) = F(b) − F(a). Como C não afeta o resultado, ela é omitida por convenção. A constante só é relevante em integrais indefinidas, onde a família de primitivas é escrita como F(x) + C.