Última atualização: 2026-05-26

O que é a derivada de um polinômio

A derivada de um polinômio P(x) em um ponto x₀ é o limite da taxa de variação da função quando h tende a zero. Em termos geométricos, P′(x₀) é a inclinação da reta tangente à curva no ponto (x₀, P(x₀)). Para polinômios, esse cálculo se reduz à aplicação sistemática da regra da potência — uma operação algébrica exata que não requer o conceito de limite durante a execução.

Esta calculadora recebe os coeficientes do polinômio (do maior para o menor grau), um valor de x, e retorna P(x), P′(x), os coeficientes da derivada e a equação da reta tangente, além de um gráfico que exibe a curva e a tangente simultaneamente.

Escopo: apenas polinômios inseridos como lista de coeficientes. Funções transcendentes (seno, cosseno, exponencial, logaritmo) não são suportadas.

A regra da potência

Para qualquer monômio $a_n x^n$, a derivada é:

$\frac{d}{dx}[a_n x^n] = n \cdot a_n x^{n-1}$

Aplicada termo a termo a um polinômio geral:

$P(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_{n-1}x + a_n$

$P'(x) = n\,a_0\, x^{n-1} + (n-1)\,a_1\, x^{n-2} + \cdots + a_{n-1}$

O termo constante $a_n$ desaparece porque $\tfrac{d}{dx}[c] = 0$, e o grau da derivada é sempre um a menos que o grau do polinômio original.

Exemplo resolvido

Seja P(x) = x³ − 3x² + 2x + 5 (coeficientes: 1, -3, 2, 5) avaliado em x = 2.

Passo 1 — Calcular P(2) pelo método de Horner:

$P(2) = ((1 \cdot 2 - 3) \cdot 2 + 2) \cdot 2 + 5 = 5$

Passo 2 — Derivar pela regra da potência:

$P'(x) = 3x^2 - 6x + 2$

Passo 3 — Avaliar P′(2):

$P'(2) = 3(4) - 6(2) + 2 = 12 - 12 + 2 = 2$

Passo 4 — Escrever a equação da reta tangente:

$y = P'(2)\,(x - 2) + P(2) = 2(x - 2) + 5 = 2x + 1$

A reta tangente toca a curva em (2, 5) com inclinação igual a 2.

Significado geométrico da derivada

A derivada P′(x₀) é a taxa de variação instantânea do polinômio em x₀ — a inclinação da curva naquele ponto específico. Formalmente, ela é definida como o limite da inclinação da secante:

$P'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{P(x_0 + h) - P(x_0)}{h}$

À medida que h tende a zero, a reta secante (que corta a curva em dois pontos) converge para a reta tangente. Para afastamentos pequenos Δx do ponto x₀, a curva e a tangente divergem por uma quantidade proporcional a (Δx)², o que torna a reta tangente uma excelente aproximação local do polinômio.

Como inserir os coeficientes

Atenção: inclua zero para potências ausentes. No caso de x⁴ − 1, os termos em x³, x² e x¹ são todos zero, portanto a entrada correta é 1, 0, 0, 0, -1.

Coeficientes da derivada como saída

A calculadora também exibe os coeficientes de P′(x) no mesmo formato de maior para menor grau. Para P(x) = x³ − 3x² + 2x + 5:

$P'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \quad \Rightarrow \quad \text{coeficientes: } 3, -6, 2$

Esses coeficientes podem ser colados de volta no campo de entrada para calcular P″(x) (a segunda derivada), ou usados na Resolução de equação do segundo grau para encontrar os pontos críticos de P, ou seja, os valores de x onde P′(x) = 0.

A Calculadora de Taxa Média de Variação calcula a inclinação da secante entre dois pontos de uma função — o análogo discreto da derivada. À medida que os dois pontos se aproximam, essa inclinação converge para o valor P′(x₀) calculado aqui.