Última atualização: 2026-05-19

O que esta calculadora resolve

A lei dos senos relaciona cada lado de um triângulo ao seno do ângulo oposto. Informe dois ângulos e o lado oposto a um deles (configuração AAS) e esta calculadora determina o terceiro ângulo, os dois lados desconhecidos, a área e o raio da circunferência circunscrita.

A lei dos senos

Para qualquer triângulo com lados $a$, $b$, $c$ e ângulos opostos $A$, $B$, $C$:

$\frac{a}{\operatorname{sen} A} = \frac{b}{\operatorname{sen} B} = \frac{c}{\operatorname{sen} C} = 2R$

A razão comum é igual ao diâmetro da circunferência circunscrita.

Resolução de um triângulo AAS passo a passo

Dados: ângulo $A$, lado $a$ (oposto a $A$), ângulo $B$

Passo 1: Terceiro ângulo

$C = 180° - A - B$

Passo 2: Lados desconhecidos

$b = \frac{a \operatorname{sen} B}{\operatorname{sen} A}, \qquad c = \frac{a \operatorname{sen} C}{\operatorname{sen} A}$

Passo 3: Área

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \operatorname{sen} C$

Passo 4: Circunraio

$R = \frac{a}{2 \operatorname{sen} A}$

Exemplo resolvido

Dados: $A = 30°$, $a = 10$, $B = 45°$

$C = 180° - 30° - 45° = 105°$

$b = \frac{10 \operatorname{sen} 45°}{\operatorname{sen} 30°} = 10\sqrt{2} \approx 14{,}142$

$c = \frac{10 \operatorname{sen} 105°}{\operatorname{sen} 30°} \approx 19{,}319$

$S = \tfrac{1}{2} \times 10 \times 14{,}142 \times \operatorname{sen} 105° \approx 68{,}30$

$R = \frac{10}{2 \operatorname{sen} 30°} = 10$

Verificação: $b / \operatorname{sen} B = 14{,}142 / \operatorname{sen} 45° = 20 = 2R$.

Por que a fórmula funciona: derivação pelo círculo circunscrito

Traça-se o círculo circunscrito (raio $R$) e um diâmetro a partir do vértice $A$ até o ponto $D$. O ângulo $\angle ABD$ é reto (teorema de Tales), portanto $\operatorname{sen}(\angle ADB) = a/(2R)$. O teorema do ângulo inscrito dá $\angle ADB = A$, logo:

$\operatorname{sen} A = \frac{a}{2R} \implies \frac{a}{\operatorname{sen} A} = 2R$

Lei dos senos vs. lei dos cossenos

Dados conhecidos	Fórmula
Dois ângulos + qualquer lado (AAS ou ASA)	Lei dos senos
Dois lados + ângulo compreendido (LAL)	Lei dos cossenos
Três lados (LLL)	Lei dos cossenos
Dois lados + ângulo não compreendido (LLA)	Lei dos senos (atenção ao caso ambíguo)

O caso ambíguo

O caso ambíguo ocorre apenas na configuração LLA. Com AAS, $C = 180° − A − B$ é único e o caso ambíguo não existe.

Perguntas frequentes (FAQ)

Quando usar a lei dos senos e quando usar a lei dos cossenos?

Use a lei dos senos quando conhece um ângulo e o lado oposto a ele (configurações AAS ou ASA). Use a lei dos cossenos quando tem dois lados e o ângulo entre eles (LAL) ou os três lados (LLL). Regra rápida: se o ângulo conhecido está diretamente oposto a um lado conhecido, aplique a lei dos senos.

O que é o caso ambíguo da lei dos senos?

O caso ambíguo ocorre na configuração LLA (dois lados + ângulo não incluído). Se a < h = b sen A, não existe triângulo. Se h < a < b, dois triângulos satisfazem as medidas. Esta calculadora usa AAS, onde o terceiro ângulo é determinado unicamente por C = 180° − A − B, eliminando o caso ambíguo.

Qual é a relação entre a lei dos senos e o circunraio?

A lei dos senos estendida afirma que a / sen A = b / sen B = c / sen C = 2R, onde R é o raio da circunferência circunscrita. Daí se obtém R = a / (2 sen A). Para um triângulo retângulo (C = 90°), R = c/2: o circunraio é metade da hipotenusa.

Qual é a diferença entre AAS e ASA?

Em ASA, o lado conhecido está entre os dois ângulos. Em AAS, o lado conhecido é oposto a um dos ângulos. Ambas as configurações determinam o triângulo de forma única e se resolvem da mesma maneira: calcula-se C = 180° − A − B e aplica-se a lei dos senos.