Última atualização: 2026-06-04

Definição

A média geométrica de n números positivos é a raiz n-ésima do produto desses valores. Para valores x₁, x₂, …, xₙ, a média geométrica G é:

$G = \left(x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n\right)^{1/n}$

Uma forma equivalente e numericamente mais estável utiliza logaritmos:

$G = \exp\!\left(\frac{\ln x_1 + \ln x_2 + \cdots + \ln x_n}{n}\right)$

Ambas as expressões produzem o mesmo resultado. A forma logarítmica evita estouro numérico quando o produto de muitos valores grandes ultrapassaria o intervalo da aritmética de ponto flutuante — e é a forma usada internamente por esta calculadora.

Mecanismo: por que multiplicar em vez de somar

A média aritmética resume dados cuja relação natural é aditiva — cada observação contribui com uma parcela independente para o total. A média geométrica resume dados cuja relação natural é multiplicativa — cada observação escala o resultado anterior.

Considere dois crescimentos consecutivos: +20% e −10%. Representados como fatores, são 1,20 e 0,90. A média aritmética desses fatores é 1,05, o que sugeriria um ganho de 5% ao ano. Porém, o resultado real após dois anos é 1,20 × 0,90 = 1,08 — equivalente a uma taxa constante de √1,08 ≈ 1,039, ou seja, cerca de 3,9% ao ano. A média geométrica de 1,20 e 0,90 fornece exatamente esse valor; a média aritmética, não.

Esse é o ponto central: a média geométrica preserva a coerência multiplicativa. Quando se trabalha com fatores de crescimento, índices de preços ou razões, ela é a medida correta.

Fórmula e cálculo passo a passo

Dados os valores x₁, x₂, …, xₙ, todos positivos:

1. Calcule o produto P = x₁ × x₂ × … × xₙ.
2. Extraia a raiz n-ésima: G = P^(1/n).

Ou, de forma equivalente com logaritmos:

1. Calcule a média dos logaritmos naturais: m = (ln x₁ + ln x₂ + … + ln xₙ) / n.
2. Exponencialize: G = eᵐ.

Exemplo prático

Uma carteira de investimentos registra os seguintes retornos anuais: +12%, −8% e +24%. Convertidos em fatores de crescimento: 1,12; 0,92; 1,24.

• Produto: 1,12 × 0,92 × 1,24 ≈ 1,2782
• Média geométrica: 1,2782^(1/3) ≈ 1,0854
• Taxa constante equivalente: 8,54% ao ano
• Média aritmética dos fatores: (1,12 + 0,92 + 1,24) / 3 ≈ 1,0933, o que implicaria 9,33% ao ano

Um capital inicial de R$ 1.000 aplicado à taxa constante de 8,54% ao ano durante três anos resulta em 1.000 × 1,2782 ≈ R$ 1.278 — exatamente o mesmo resultado que os três retornos variáveis produzem. A média aritmética superestima a taxa sustentável porque não incorpora o efeito da capitalização entre ganhos e perdas.

Relação com o crescimento composto

A média geométrica de uma série de fatores de crescimento é a taxa composta equivalente — o valor que, aplicado uniformemente a cada período, reproduz o resultado acumulado observado. Este conceito é conhecido em finanças como taxa de crescimento anual composta (CAGR).

Se um índice passa de 100 para 215 em cinco anos, a taxa anual composta equivalente é:

$G = \left(\frac{215}{100}\right)^{1/5} \approx 1{,}165$

Ou seja, aproximadamente 16,5% ao ano — a taxa constante que, aplicada cinco vezes, transforma 100 em 215.

Desigualdade MA-MG

Para qualquer conjunto de números positivos, a média aritmética é sempre maior ou igual à média geométrica:

$(x_1 + x_2 + \cdots + x_n) / n \;\geq\; (x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n)^{1/n}$

A igualdade ocorre somente quando todos os valores são iguais. A diferença entre as duas médias cresce com a dispersão dos dados — quanto mais heterogêneos os valores, maior a lacuna.

Uma interpretação geométrica: entre todos os retângulos com perímetro fixo, o quadrado (lados iguais) tem a maior área. A área é a média geométrica dos dois lados, e ela é maximizada quando os lados são iguais, coincidindo com a média aritmética. A desigualdade MA-MG aparece em otimização, análise e teoria dos números.

Distribuições log-normais e dados com várias ordens de grandeza

Dados que abrangem diversas ordens de grandeza — contagens de microrganismos, magnitudes de terremotos, distribuições de renda — costumam seguir uma distribuição log-normal. Para esses dados, a média geométrica corresponde à mediana da distribuição log-normal subjacente e resume melhor a tendência central do que a média aritmética, que é fortemente influenciada pelos valores extremos.

Índices de preços como o IPCA também utilizam médias geométricas internamente para agregar variações percentuais entre categorias, tornando a ponderação independente da magnitude absoluta de cada categoria.

Quando usar cada média

Para dados positivos, a relação harmônica ≤ geométrica ≤ aritmética é sempre válida. Esta calculadora exibe tanto a média geométrica quanto a aritmética para que a desigualdade possa ser observada diretamente.

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