Última atualização: 2026-05-18

Definição

O volume de uma esfera é a medida do espaço tridimensional delimitado pela superfície esférica. Para uma esfera de raio r, o volume, a área da superfície e o diâmetro são calculados pelas fórmulas abaixo. As relações se aplicam a qualquer esfera perfeita — bolas esportivas, globos, tanques esféricos ou planetas.

Fórmulas

Para uma esfera de raio r:

Propriedade	Fórmula
Volume	V = (4/3)πr³
Área da superfície	A = 4πr²
Diâmetro	d = 2r

Origem do fator (4/3)π

Por volta de 250 a.C., Arquimedes provou que uma esfera ocupa exatamente dois terços do volume do cilindro que a envolve (raio r, altura 2r). Como o volume do cilindro é 2πr³, o da esfera é (2/3) × 2πr³ = (4/3)πr³.

Área da superfície: 4πr²

Uma demonstração elegante: a área da superfície é a derivada do volume em relação a r. Removendo uma camada infinitesimalmente fina, obtemos dV/dr = 4πr². Arquimedes também provou que a área de uma esfera é igual à área lateral do cilindro circunscrito — resultado gravado em sua lápide.

Crescimento cúbico

Como o volume cresce com r³, dobrar o raio multiplica o volume por 8. A tabela abaixo resume o efeito de variações no raio:

Fator do raio	Fator do volume	Fator da área
×2	×8	×4
×3	×27	×9
×½	×⅛	×¼

Uma bola de basquete (r ≈ 12 cm) contém cerca de 8 vezes mais ar do que uma bola de tênis (r ≈ 6 cm), mesmo tendo apenas o dobro do raio.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Bola de futebol

Uma bola oficial tem circunferência de cerca de 68,5 cm, logo r = 68,5 / (2π) ≈ 10,9 cm.

Volume: V = (4/3) × π × (0,109)³ ≈ 0,00542 m³ ≈ 5,42 litros Área da superfície: A = 4 × π × (0,109)² ≈ 0,149 m² ≈ 1490 cm²

Exemplo 2 — Tanque esférico

Um tanque de água esférico com r = 2 m armazena:

V = (4/3) × π × 8 ≈ 33,51 m³ ≈ 33.510 litros

A área A = 4π × 4 ≈ 50,27 m² indica quanto aço precisa de revestimento.

Exemplo 3 — Encontrar o raio a partir do volume

Se uma esfera tem exatamente 1 m³ de volume, seu raio é:

r = ∛(3V / (4π)) = ∛(3 / (4π)) ≈ 0,6204 m (cerca de 62 cm)

Perguntas frequentes (FAQ)

Qual é a fórmula do volume de uma esfera?

O volume de uma esfera é V = (4/3)πr³, em que r é o raio. Por exemplo, uma esfera com r = 5 cm tem V = (4/3) × π × 125 ≈ 523,6 cm³. Arquimedes demonstrou essa fórmula inscrevendo a esfera em um cilindro de mesmas dimensões.

Como calcular a área da superfície de uma esfera?

A área da superfície de uma esfera é A = 4πr². Para r = 5 cm, A = 4 × π × 25 = 100π ≈ 314,2 cm². Arquimedes provou que a área de uma esfera é igual à área lateral do cilindro circunscrito — resultado gravado em sua lápide.

O que acontece com o volume ao dobrar o raio?

Como o volume é proporcional a r³, dobrar o raio multiplica o volume por 2³ = 8. Uma esfera com r = 10 cm tem oito vezes mais volume do que uma com r = 5 cm. Triplicar o raio resulta em 27 vezes mais volume.

Como encontrar o raio a partir do volume de uma esfera?

Isolando r em V = (4/3)πr³, obtemos r = ∛(3V / (4π)). Por exemplo, se V = 1 m³, então r = ∛(3 / (4π)) ≈ 0,6204 m.