Gerado em: 13 de junho de 2026 às 18:02

Calculadora de Distribuição Geométrica

Entradas

Probabilidade de sucesso	0,3
Número do ensaio	3

Visualização

Valor da FMP 0

Calculadora de Distribuição Geométrica

Calcule P(X=k), P(X≤k), a média e a variância de uma distribuição geométrica. Informe a probabilidade de sucesso e o número do ensaio desejado.

Parâmetros

Probabilidade de sucesso

0 – 1

Número do ensaio

≥ 1

Insira um valor para ver os resultados.

Probabilidade exata

Detalhes

Probabilidade acumulada

Desvio padrão

Número esperado de ensaios

Variância

Probabilidades

P(X = k) — probabilidade do primeiro sucesso no ensaio k

\begin{aligned} P(X=k) &= (1-p)^{k-1} \cdot p \\ &= (1-0,3)^{ 3-1 } \cdot 0,3 \\ &= ? \end{aligned}

P(X ≤ k) — probabilidade acumulada

\begin{aligned} P(X \leq k) &= 1-(1-p)^{k} \\ &= 1-(1-0,3)^{ 3 } \\ &= ? \end{aligned}

Média (número esperado de ensaios)

\begin{aligned} \mu &= \dfrac{1}{p} \\ &= \dfrac{1}{ 0,3 } \\ &= ? \end{aligned}

Variância

\begin{aligned} \sigma^2 &= \dfrac{1-p}{p^2} \\ &= \dfrac{1-0,3}{ 0,3^2 } \\ &= ? \end{aligned}

Distribuição

Valor da FMP 0

Última atualização: 2026-06-04

A distribuição geométrica é uma distribuição de probabilidade discreta que modela o número de ensaios de Bernoulli independentes necessários para obter o primeiro sucesso. Cada ensaio tem a mesma probabilidade p de sucesso e é independente dos demais. Essa distribuição aparece em controle de qualidade, análise de confiabilidade, pesquisas de mercado e em qualquer processo em que tentativas são repetidas até que um determinado resultado seja alcançado.

Fórmulas

Esta calculadora adota a convenção de ensaios até o primeiro sucesso: X representa o número do ensaio em que o primeiro sucesso ocorre, portanto X ≥ 1. A função de massa de probabilidade (FMP) e a função de distribuição acumulada (FDA) são:

P(X = k) = (1-p)^{k-1} \cdot p, \quad k = 1, 2, 3, \ldots

P(X \leq k) = 1 - (1-p)^k

A média e a variância de X sob essa convenção são:

\mu = \frac{1}{p}, \qquad \sigma^2 = \frac{1-p}{p^2}

Existe uma convenção alternativa, frequente em textos de combinatória, que define X como o número de fracassos antes do primeiro sucesso (X ≥ 0). Nesse caso, a FMP torna-se P(X = k) = (1−p)^k · p, a média é (1−p)/p e a variância permanece a mesma. Esta calculadora não utiliza essa convenção.

Exemplo resolvido

Um vendedor fecha negócio em aproximadamente 30 % dos contatos realizados com clientes, de forma independente. Qual é a probabilidade de o primeiro fechamento ocorrer exatamente na terceira ligação?

Com p = 0,30 e k = 3:

P(X = 3) = (1 - 0{,}30)^{3-1} \times 0{,}30 = 0{,}70^{2} \times 0{,}30 = 0{,}49 \times 0{,}30 = 0{,}147

Há uma probabilidade de 14,7 % de o terceiro contato resultar no primeiro fechamento. A probabilidade acumulada de fechar negócio até a terceira ligação é:

P(X \leq 3) = 1 - 0{,}70^3 = 1 - 0{,}343 = 0{,}657

Portanto, há 65,7 % de chance de o primeiro sucesso ocorrer até a terceira tentativa. O número esperado de ligações necessárias é μ = 1/0,30 ≈ 3,33.

Por que a fórmula tem essa forma?

Para que o primeiro sucesso ocorra exatamente no ensaio k:

Os ensaios 1 a k−1 devem falhar. Cada um falha com probabilidade 1−p e os ensaios são independentes, de modo que a probabilidade de k−1 fracassos consecutivos é (1−p)^(k−1).
O ensaio k deve ser bem-sucedido, o que ocorre com probabilidade p.

Multiplicando essas probabilidades independentes, obtém-se (1−p)^(k−1) · p.

A FDA decorre da regra do complemento. A única forma de P(X ≤ k) não se realizar é todos os k ensaios falharem, o que tem probabilidade (1−p)^k. Portanto, P(X ≤ k) = 1 − (1−p)^k.

Propriedade da ausência de memória

A distribuição geométrica é a única distribuição discreta com a propriedade da ausência de memória: dado que o primeiro sucesso ainda não ocorreu após m ensaios, o tempo de espera restante segue exatamente a mesma distribuição geométrica original. Formalmente, P(X > m + n | X > m) = P(X > n). Essa característica torna a distribuição analiticamente tratável em teoria de filas e em testes sequenciais.

Relação com outras distribuições

A distribuição geométrica é um caso particular da distribuição binomial negativa com número de sucessos necessários igual a r = 1. De modo mais amplo, a soma de r variáveis aleatórias geométricas independentes segue uma distribuição binomial negativa, que fornece o número de ensaios necessários para alcançar r sucessos.

Quando a probabilidade de sucesso p é pequena e o número de ensaios n é grande, o número de sucessos em n ensaios geométricos aproxima-se de uma distribuição de Poisson. Para p próximo de 1, a distribuição concentra-se em torno de k = 1 e torna-se cada vez mais assimétrica.

Aplicações práticas

Centrais de atendimento e vendas: estimativa do número médio de contatos necessários até uma conversão.
Confiabilidade e controle de qualidade: modelagem do número de unidades inspecionadas até o primeiro item defeituoso.
Retransmissão em redes: análise do número de tentativas de transmissão até que um pacote seja recebido sem erros.
Ensaios clínicos: cálculo do número esperado de triagens de pacientes até a primeira admissão elegível, sob uma probabilidade de inclusão fixa.

Perguntas frequentes (FAQ)

O que é a distribuição geométrica?

A distribuição geométrica é uma distribuição de probabilidade discreta que modela o número de ensaios de Bernoulli independentes necessários para obter o primeiro sucesso. Cada ensaio tem a mesma probabilidade p de sucesso e é independente dos demais. Por exemplo, para p = 0,3, a distribuição descreve quantas vezes é preciso repetir um experimento — como lançar um dado com probabilidade 0,3 de obter determinada face — até o primeiro sucesso. Uma propriedade central da distribuição geométrica é a ausência de memória: dado que o sucesso ainda não ocorreu após m ensaios, a quantidade de ensaios adicionais necessários segue a mesma distribuição geométrica original.

Qual convenção esta calculadora adota?

Esta calculadora adota a convenção de ensaios até o primeiro sucesso: X representa o número do ensaio em que o primeiro sucesso ocorre, de modo que X ≥ 1. Sob essa convenção, P(X = k) = (1−p)^(k−1) · p. Existe uma convenção alternativa, comum em textos de combinatória, que define X como o número de fracassos antes do primeiro sucesso (X ≥ 0), resultando em P(X = k) = (1−p)^k · p. As duas diferem por uma unidade no índice. Nesta calculadora, a média é 1/p; na convenção de fracassos, a média é (1−p)/p.

Quantos ensaios são necessários em média?

O número esperado de ensaios é μ = 1/p. Para p = 0,25, a média é 4 ensaios; para p = 0,1, a média é 10 ensaios. O desvio padrão é σ = √((1−p)/p²): para p = 0,25, σ = √12 ≈ 3,46, o que indica variabilidade considerável entre execuções. A distribuição é assimétrica à direita — a maioria das sequências termina rapidamente, mas longos percursos sem sucesso puxam a média para cima.

Qual é a relação entre a distribuição geométrica e a binomial negativa?

A distribuição geométrica é um caso particular da distribuição binomial negativa com número de sucessos necessários igual a r = 1. A binomial negativa com r = 1 fornece P(X = k) = (1−p)^(k−1) · p, idêntica à função de massa de probabilidade (FMP) geométrica. A binomial negativa generaliza esse resultado para o número de ensaios necessários para alcançar r sucessos. Essa relação é útil ao estender modelos geométricos para situações em que múltiplos sucessos são exigidos.

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