Última atualização: 2026-05-20

Definição

A circunferência circunscrita de um triângulo é a única circunferência que passa pelos três vértices. Seu raio $R$ é chamado de raio da circunscrita, e seu centro é o circuncentro. Esta calculadora determina $R$, a área da circunscrita e seu comprimento a partir dos três comprimentos de lado $a$, $b$, $c$.

Todo triângulo possui exatamente uma circunferência circunscrita — ao contrário de um quadrilátero geral, que pode não ter nenhuma. A circunscrita é fundamental na geometria clássica e seu raio aparece em trigonometria, topografia e outras áreas da matemática aplicada.

Cálculo do Raio da Circunscrita

O cálculo combina a fórmula de Heron para a área do triângulo com o produto dos lados:

Passo 1 — Semiperímetro:

$s = \frac{a + b + c}{2}$

Passo 2 — Área do triângulo (fórmula de Heron):

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Passo 3 — Raio da circunscrita:

$R = \frac{abc}{4S}$

Exemplo resolvido — triângulo 6-8-10:

$s = \frac{6+8+10}{2} = 12$

$S = \sqrt{12 \times 6 \times 4 \times 2} = \sqrt{576} = 24$

$R = \frac{6 \times 8 \times 10}{4 \times 24} = \frac{480}{96} = 5$

A área da circunscrita é $\pi R^2 = 25\pi \approx 78{,}54$ e o comprimento $2\pi R = 10\pi \approx 31{,}42$.

Verificação: O triângulo 6-8-10 é semelhante ao 3-4-5 (razão 2:1) e, portanto, retângulo. R deve ser a metade da hipotenusa 10, ou seja, 5 — confirmado.

Posição do Circuncentro

O circuncentro $O$ é o ponto equidistante dos três vértices. Geometricamente, ele fica na interseção das mediatrizes dos três lados. Sua posição em relação ao triângulo depende do tipo:

Tipo de triângulo	Posição do circuncentro
Acutângulo (todos os ângulos < 90°)	Dentro do triângulo
Retângulo (um ângulo = 90°)	No ponto médio da hipotenusa
Obtusângulo (um ângulo > 90°)	Fora do triângulo

O caso retângulo serve de verificação rápida: para os lados 3, 4, 5, o circuncentro fica no ponto médio do lado 5, dando $R = 5/2 = 2{,}5$ — que coincide com a fórmula $R = abc/(4S) = 60/24 = 2{,}5$.

Conexão com a Lei dos Senos

O raio da circunscrita possui uma relação elegante com os ângulos por meio da Lei dos Senos estendida:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

Isso mostra que $R$ é a metade do quociente entre qualquer lado e o seno do ângulo oposto. Também explica o resultado para triângulos retângulos: quando $C = 90°$, $\sin C = 1$, então $2R = c$, ou seja, $R = c/2$.

Circunscrita vs. Inscrita

A circunferência inscrita fica dentro do triângulo e é tangente aos três lados. Seu raio $r$ é:

$r = \frac{S}{s}$

Os dois raios satisfazem a desigualdade $R \geq 2r$: o raio da circunscrita é sempre ao menos o dobro do raio da inscrita. A razão mínima $R/r = 2$ só é atingida no triângulo equilátero. Para o triângulo 3-4-5: $R = 2{,}5$ e $r = 6/6 = 1$, logo $R/r = 2{,}5$ — acima do mínimo teórico.

Ambos os raios dependem da mesma área $S$ e do mesmo semiperímetro $s$, mas capturam propriedades distintas: $R$ mede o "alcance externo" do triângulo, enquanto $r$ mede o "espaço interno" disponível.

Desigualdade Triangular

A fórmula só produz resultado real quando os três lados formam um triângulo válido. A desigualdade triangular exige:

$a + b > c, \quad b + c > a, \quad a + c > b$

Se qualquer condição falhar, o triângulo não existe. Por exemplo, os lados 1, 2 e 10 violam a condição pois $1 + 2 = 3 < 10$ — e a fórmula de Heron resultaria em um valor negativo sob a raiz quadrada, tornando $R$ indefinido.

Perguntas frequentes (FAQ)

O que é o raio da circunferência circunscrita de um triângulo?

O raio da circunscrita R é o raio da circunferência que passa pelos três vértices do triângulo. Para um triângulo com lados a, b, c e área S, a fórmula é R = abc ÷ (4S). No triângulo 3-4-5: S = 6, então R = (3 × 4 × 5) ÷ (4 × 6) = 60 ÷ 24 = 2,5. Em qualquer triângulo retângulo, R é exatamente a metade da hipotenusa.

Onde fica o circuncentro de um triângulo?

O circuncentro O é o ponto equidistante dos três vértices. Geometricamente, ele está na interseção das mediatrizes dos três lados. Em triângulos acutângulos, fica dentro do triângulo. Em triângulos retângulos, coincide com o ponto médio da hipotenusa. Em triângulos obtusângulos, cai fora do triângulo, do lado oposto ao maior ângulo.

Qual é a diferença entre circunferência circunscrita e inscrita?

A circunscrita passa pelos três vértices e tem raio R = abc ÷ (4S). A inscrita é tangente aos três lados por dentro e tem raio r = S ÷ s, onde s = (a + b + c) ÷ 2 é o semiperímetro. Para o triângulo 3-4-5: R = 2,5 e r = 1. A desigualdade R ≥ 2r é sempre válida: o raio da circunscrita é ao menos o dobro do raio da inscrita. A razão mínima R/r = 2 só é atingida no triângulo equilátero.

Qual é a relação entre o raio da circunscrita e a Lei dos Senos?

A Lei dos Senos estendida afirma que a ÷ sen A = b ÷ sen B = c ÷ sen C = 2R. Ou seja, o raio da circunscrita é a metade do quociente entre qualquer lado e o seno do ângulo oposto. Por exemplo, com a = 5 e sen A = 0,6: R = 5 ÷ (2 × 0,6) ≈ 4,17. Isso explica por que triângulos retângulos (ângulo de 90°, seno = 1) têm R igual à metade da hipotenusa.