Última atualização: 2026-05-22

Coeficiente de correlação de Pearson

O coeficiente de correlação de Pearson (r) é uma medida adimensional, que varia de −1 a +1, indicando a força e a direção da relação linear entre duas variáveis numéricas contínuas. Valores próximos de +1 apontam correlação positiva forte; valores próximos de −1, correlação negativa forte; valores próximos de 0 indicam ausência de relação linear. A calculadora recebe dois conjuntos de dados pareados e retorna r, o coeficiente de determinação (r²) e a classificação automática da intensidade.

A fórmula

$r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 \cdot \sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}}$

O numerador é a soma dos produtos cruzados dos desvios — ele mede se X e Y tendem a se afastar de suas respectivas médias na mesma direção (produto positivo) ou em direções opostas (produto negativo). O denominador normaliza pela dispersão total de cada variável, garantindo que r fique sempre entre −1 e +1, independentemente da escala de X ou Y.

Exemplo passo a passo

Usando o conjunto padrão: X = [1, 2, 3, 4, 5] e Y = [2, 4, 5, 4, 5].

Passo 1 — Calcule as médias.

$\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3 \qquad \bar{y} = \frac{2+4+5+4+5}{5} = 4$

Passo 2 — Calcule os desvios e os produtos cruzados.

i	xᵢ	xᵢ − x̄	yᵢ	yᵢ − ȳ	(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ)	(xᵢ−x̄)²	(yᵢ−ȳ)²
1	1	−2	2	−2	4	4	4
2	2	−1	4	0	0	1	0
3	3	0	5	+1	0	0	1
4	4	+1	4	0	0	1	0
5	5	+2	5	+1	2	4	1
		Σ			6	10	6

Passo 3 — Aplique a fórmula.

$r = \frac{6}{\sqrt{10 \times 6}} = \frac{6}{\sqrt{60}} \approx 0{,}7746$

$r^2 = (0{,}7746)^2 \approx 0{,}60$

Interpretação: r ≈ 0,77 — correlação positiva forte. Cerca de 60% da variância em Y é explicada pela relação linear com X.

O que r significa

Valor de r	Interpretação
+1,0	Relação linear positiva perfeita
+0,7 a +0,99	Positiva forte
+0,3 a +0,69	Positiva moderada
−0,29 a +0,29	Fraca ou sem relação linear
−0,3 a −0,69	Negativa moderada
−0,7 a −0,99	Negativa forte
−1,0	Relação linear negativa perfeita

Esses limites são referências, não regras absolutas. Em epidemiologia, r = 0,3 pode ter relevância prática significativa; em engenharia, r < 0,99 pode ser inaceitavelmente impreciso.

r versus r²

r e r² respondem a perguntas diferentes:

• r indica a direção e a intensidade da associação linear. Um valor de −0,9 é tão intenso quanto +0,9; o sinal mostra em qual sentido a relação ocorre.
• r² (coeficiente de determinação) indica a proporção da variância de Y explicada por X. Varia de 0 a 1 e não tem sinal. r² = 0,64 significa que 64% da dispersão em Y pode ser atribuída à tendência linear com X.

Quando você quer saber apenas "quão ajustada é a relação linear?", use r. Quando quer quantificar "quanto X explica de Y?", use r².

Correlação não é causalidade

Um r alto só indica que X e Y variam juntos de forma linear — não diz nada sobre por quê. Exemplos clássicos:

• Vendas de sorvete e casos de afogamento sobem juntos no verão (causa comum: calor).
• Tamanho do pé e desempenho na leitura são positivamente correlacionados em crianças (causa comum: idade).
• Países com mais televisores por domicílio têm maior expectativa de vida (ambos refletem riqueza).

Para estabelecer causalidade são necessários: experimento controlado, eliminação de variáveis de confusão e demonstração de que a causa precede o efeito no tempo.

Quando usar Spearman no lugar de Pearson

O r de Pearson pressupõe:

1. Ambas as variáveis são contínuas (escala intervalar ou de razão).
2. A relação é aproximadamente linear.
3. Não há valores extremos que dominem a soma.

Quando essas premissas não se sustentam, use a correlação de postos de Spearman: converta os dois conjuntos de dados em postos e calcule o r de Pearson sobre esses postos. O método de Spearman lida melhor com dados ordinais, relações monotônicas mas curvas e conjuntos com outliers. Como regra prática: se o gráfico de dispersão mostrar um padrão consistente mas claramente curvo, ou se um ou dois pontos estiverem muito distantes dos demais, Spearman é a escolha mais segura.

Perguntas frequentes (FAQ)

O que significa r = 0,7?

Um r de 0,7 indica uma relação linear positiva forte entre X e Y. Conforme X aumenta, Y também tende a aumentar, e os dados ficam relativamente próximos de uma linha reta.

Na prática, |r| ≥ 0,7 é geralmente classificado como forte, 0,3 ≤ |r| < 0,7 como moderado e |r| < 0,3 como fraco — mas os limites exatos variam por área. Nas ciências sociais, r = 0,5 já pode ser considerado forte; em engenharia ou física, r < 0,99 pode indicar ruído considerável.

Correlação alta prova causalidade?

Não. Um r alto significa que X e Y variam juntos de forma linear, mas não explica por quê. Uma terceira variável (variável de confusão) pode influenciar ambas.

Um exemplo clássico: consumo de sorvete e afogamentos sobem juntos no verão — mas sorvete não causa afogamento; o calor é a causa comum. Para estabelecer causalidade são necessários: experimento controlado, ordenação temporal (a causa precede o efeito) e eliminação das variáveis de confusão.

Qual a diferença entre r e r²?

O r de Pearson mede a direção e a intensidade da relação linear, variando de −1 (correlação negativa perfeita) a +1 (correlação positiva perfeita). Já o r² (coeficiente de determinação) indica a proporção da variância de Y explicada por X.

Por exemplo, r = 0,8 resulta em r² = 0,64, ou seja, 64% da variação em Y é explicada pela relação linear com X. O r² é sempre não negativo e mais intuitivo como percentual, mas não carrega sinal — r = −0,8 e r = +0,8 produzem o mesmo r² = 0,64.

Quando usar Spearman no lugar de Pearson?

Use a correlação de Spearman quando os dados forem ordinais (categorias com ordem), quando a relação entre X e Y for monotônica mas não linear, ou quando houver valores extremos (outliers). O método de Spearman converte os valores em postos antes do cálculo, tornando-o robusto a outliers e a padrões consistentes mas curvos.

O coeficiente de Pearson é ideal quando as duas variáveis são contínuas, aproximadamente normais e a relação subjacente é linear. Como regra prática: se o gráfico de dispersão mostrar uma curva consistente, ou se poucos pontos destoantes estiverem puxando o valor de r, prefira Spearman.