Última atualização: 2026-05-19

Taxa média de variação

A taxa média de variação (TMV) de uma função f entre dois valores de x mede o quanto a saída da função varia por unidade de entrada. Dados dois pontos (x₁, f(x₁)) e (x₂, f(x₂)), a fórmula é:

$\text{TMV} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta f}{\Delta x}$

Geometricamente, esse valor é a inclinação da reta secante — a reta que passa pelos dois pontos na curva. Ao contrário de uma função linear, cuja inclinação é constante, a taxa média de variação depende do intervalo escolhido: um trecho mais íngreme ou mais plano da curva produz resultados diferentes.

Exemplo resolvido

Uma bola é lançada verticalmente para cima e sua altura (em metros) no instante t é dada por h(t) = −5t² + 20t. Calcule a taxa média de variação entre t = 1 s e t = 3 s.

Passo 1 — calcule h em cada extremo do intervalo:

$h(1) = -5(1)^2 + 20(1) = 15 \text{ m}$

$h(3) = -5(3)^2 + 20(3) = -45 + 60 = 15 \text{ m}$

Passo 2 — calcule Δh e Δt:

$\Delta h = 15 - 15 = 0 \text{ m}, \quad \Delta t = 3 - 1 = 2 \text{ s}$

Passo 3 — divida:

$\text{TMV} = \frac{0}{2} = 0 \text{ m/s}$

Uma taxa média de variação igual a zero significa que a bola voltou à mesma altura de partida — ela subiu e desceu ao longo desses 2 segundos. As velocidades instantâneas em t = 1 s e t = 3 s não são zero (a bola estava em movimento), mas em média a variação líquida de altura foi nula.

Reta secante versus reta tangente

	Reta secante	Reta tangente
Passa por	Dois pontos da curva	Um único ponto da curva
Inclinação igual a	Taxa média de variação	Taxa instantânea de variação
Calculada por	Δf / Δx	Derivada f′(x)
Exige cálculo diferencial?	Não	Sim

A taxa média de variação é um conceito do ensino médio — basta aritmética para calculá-la. A inclinação da tangente é o limite da inclinação da secante quando os dois pontos se aproximam: à medida que x₂ → x₁, a reta secante gira até se tornar tangente à curva em um único ponto.

Fundamentação da fórmula

A fórmula deriva diretamente da definição de inclinação de reta aplicada a uma função. Dados dois pontos numa curva unidos por uma reta, a inclinação dessa reta é (variação vertical) / (variação horizontal) = Δf / Δx. É a medida mais simples de velocidade de variação entre dois pontos: a taxa constante que produziria a mesma variação líquida do valor inicial ao valor final.

Conexão com o Teorema do Valor Médio

O Teorema do Valor Médio (TVM) garante que, para qualquer curva suave, a taxa média de variação em [x₁, x₂] é atingida pela taxa instantânea de variação em algum ponto c interior ao intervalo:

$f'(c) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

Isso significa que a inclinação da secante não é apenas uma aproximação — ela é exatamente a inclinação da tangente em algum ponto do interior. Na prática, é por isso que a velocidade média de um carro numa viagem é igual à velocidade instantânea em algum momento do trajeto: num percurso de 300 km em 3 horas (velocidade média de 100 km/h), o velocímetro marcou 100 km/h pelo menos uma vez.

Aplicações no mundo real

• Física — velocidade média: Se a posição de um objeto é s(t), então TMV = Δs / Δt é a velocidade média. Um carro que percorre 60 km em 45 minutos tem velocidade média de 60 / 0,75 = 80 km/h.
• Biologia — crescimento populacional: Se uma colônia de bactérias passa de 500 para 1.400 unidades em 3 horas, a taxa média de variação é (1.400 − 500) / 3 ≈ 300 bactérias/hora.
• Economia — análise marginal: A taxa média de variação da receita em função das unidades vendidas estima quanto cada unidade adicional contribui em média — uma versão discreta da receita marginal.
• Meteorologia — variação de temperatura: Se a temperatura caiu de 30 °C às 14h para 22 °C às 18h, a taxa média de variação é (22 − 30) / 4 = −2 °C/h.

Perguntas frequentes (FAQ)

Qual a diferença entre taxa média de variação e taxa instantânea de variação?

A taxa média de variação mede o quanto uma função varia ao longo de um intervalo — corresponde à inclinação da reta secante que passa pelos dois pontos. Já a taxa instantânea de variação é a inclinação da reta tangente em um único ponto, obtida pelo limite quando o intervalo tende a zero.

Esse limite é exatamente a derivada, conceito central do cálculo diferencial. Para uma função linear as duas taxas sempre coincidem; para uma curva qualquer elas diferem, a menos que o intervalo se reduza a um único ponto.

Como a taxa média de variação se relaciona com o Teorema do Valor Médio?

O Teorema do Valor Médio (TVM) afirma que, se f é contínua em [x₁, x₂] e diferenciável em (x₁, x₂), existe pelo menos um ponto c em (x₁, x₂) onde a taxa instantânea de variação é igual à taxa média: f'(c) = (f(x₂) − f(x₁)) / (x₂ − x₁).

Em outras palavras, a inclinação da secante que você calcula aqui é garantidamente atingida pela inclinação da tangente em algum ponto interior ao intervalo. O TVM é um dos resultados mais importantes do cálculo diferencial — se a velocidade média de um carro foi 80 km/h, em algum momento o velocímetro marcou exatamente 80 km/h.

Como a taxa média de variação é usada em física?

Sempre que a posição é uma função do tempo, a taxa média de variação da posição fornece a velocidade média: v̄ = Δs / Δt. Por exemplo, se um objeto está na posição 6 m em t = 2 s e na posição 22 m em t = 6 s, sua velocidade média é (22 − 6) / (6 − 2) = 4 m/s.

O mesmo raciocínio se aplica a outras grandezas: aceleração média = Δv / Δt, corrente elétrica média = ΔQ / Δt (carga por unidade de tempo), taxa média de crescimento populacional = ΔN / Δt.

A taxa média de variação pode ser negativa?

Sim. Uma taxa média de variação negativa indica que a função diminuiu ao longo do intervalo — ou seja, f(x₂) < f(x₁). Por exemplo, se a temperatura caiu de 30 °C às 14h para 22 °C às 18h, a taxa média de variação é (22 − 30) / (18 − 14) = −2 °C/h.

O sinal indica a direção da variação: positivo significa que a função cresceu, negativo que ela decresceu e zero que o valor líquido não mudou no intervalo (mesmo que tenha oscilado no meio do caminho).