Última atualização: 2026-05-20

O tronco de cone

O tronco de cone — também chamado de cone truncado — é o sólido obtido quando um plano paralelo à base corta um cone reto circular, eliminando a parte superior. Ele possui duas faces circulares (uma base maior com raio R e um topo menor com raio r), uma superfície lateral curva e uma altura h medida perpendicularmente entre as duas bases.

Fórmulas

As quatro grandezas calculadas derivam diretamente de R, r e h.

Geratriz é a distância em linha reta ao longo da superfície lateral, de um ponto na borda inferior até o ponto correspondente na borda superior:

$l = \sqrt{(R - r)^2 + h^2}$

Trata-se simplesmente do Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo cujos catetos são a diferença entre os raios e a altura vertical.

Volume é obtido subtraindo o cone menor retirado do cone original maior:

$V = \frac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2)$

Área lateral (apenas a superfície curva) se desdobra em um setor anular plano com dois arcos:

$A_{\text{lat}} = \pi(R + r)\,l$

Área total soma as duas faces circulares:

$A_{\text{tot}} = A_{\text{lat}} + \pi R^2 + \pi r^2 = \pi(R + r)l + \pi(R^2 + r^2)$

Tronco de Cone vs. Cone Inteiro

O tronco de cone é, em essência, um cone com a ponta removida. Quando o raio do topo r = 0, as fórmulas do tronco se reduzem exatamente às do cone completo (V = πR²h/3, área lateral = πRl).

Quando r = R, obtemos um cilindro: a geratriz se iguala a h, o volume passa a ser πR²h e a área lateral torna-se 2πRh. Ambos os casos são verificações úteis para confirmar se os cálculos estão corretos.

Exemplo Resolvido

Um balde metálico tem 22 cm de diâmetro na base, 15 cm de diâmetro na boca e 28 cm de altura. Calcule o volume e a área total da chapa necessária para fabricá-lo.

• R = 11 cm, r = 7,5 cm, h = 28 cm
• $l = \sqrt{(11 - 7{,}5)^2 + 28^2} = \sqrt{12{,}25 + 784} = \sqrt{796{,}25} \approx 28{,}22$ cm
• V = (π × 28/3) × (121 + 82,5 + 56,25) = (π × 28/3) × 259,75 ≈ 7.616 cm³ ≈ 7,62 litros
• A_lat = π × (11 + 7,5) × 28,22 = π × 18,5 × 28,22 ≈ 1.639 cm²
• A_tot = 1.639 + π × 121 + π × 56,25 ≈ 1.639 + 380,1 + 176,7 ≈ 2.196 cm²

O balde comporta aproximadamente 7,6 litros e exige cerca de 2.196 cm² (≈ 0,22 m²) de chapa metálica para ser fabricado — sem considerar a sobreposição nas costuras.

Aplicações Práticas

• Luminárias e abajures — a cúpula cônica é um tronco; calcular a área lateral indica quanto tecido ou material é necessário para confeccioná-la.
• Silos e funis industriais — tremonhas em formato de tronco de cone direcionam granéis; o volume determina a capacidade de armazenamento.
• Construção civil — telhados troncocônicos, torres de resfriamento e colunas decorativas utilizam a geometria do tronco de cone.
• Aeronáutica e foguetes — seções de ogivas entre cilindros são modeladas como troncos de cone para cálculos de arrasto aerodinâmico.
• Copos e baldes — copos descartáveis e baldes de plástico são troncos de parede fina; a área lateral corresponde à área do material plano antes da conformação.

Composição Algébrica da Fórmula do Volume

O fator (R² + Rr + r²) surge da identidade algébrica usada na subtração do cone menor pelo cone maior. Se o cone original tem altura H desde o vértice até a base, e o cone menor tem altura H − h, então:

$V_{\text{tronco}} = \frac{\pi H}{3} R^2 - \frac{\pi (H - h)}{3} r^2$

Ao eliminar H (usando a relação de semelhança H/R = (H − h)/r) e simplificar, a expressão se reduz à forma compacta apresentada acima. Os três termos — R², Rr e r² — podem ser interpretados como as áreas da base inferior, da base média geométrica e da base superior, respectivamente, ponderadas por h/3.