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Gerado em: 20 de julho de 2026 às 21:34

Calculadora de elipsoide: volume e área da superfície

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Semieixo a3
Semieixo b2
Semieixo c1

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Diagrama do elipsoideUm elipsoide triaxial com os três semieixos representados: a (horizontal), b (vertical) e c (profundidade, mostrado como arco equatorial em perspectiva). a b c

Gerado com OneCalc · https://onecalc.app/pt-BR/math/ellipsoid-volume

Matemática

Calculadora de elipsoide: volume e área da superfície

Calcule o volume exato e a área aproximada da superfície de um elipsoide triaxial a partir dos três semieixos. Resultados em unidades métricas e imperiais com desenvolvimento passo a passo.

Entradas

Diagrama do elipsoideUm elipsoide triaxial com os três semieixos representados: a (horizontal), b (vertical) e c (profundidade, mostrado como arco equatorial em perspectiva). a b c

Resultados

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\begin{aligned} V &= \tfrac{4}{3}\pi a b c \\ &= \tfrac{4}{3}\pi (3)(2)(1) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} A &\approx 4\pi\!\left(\frac{a^p b^p + a^p c^p + b^p c^p}{3}\right)^{\!1/p} \\[4pt] &\quad p = 1.6075 \\[4pt] &= ? \end{aligned}

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Definição

Um elipsoide é uma superfície fechada e suave no espaço tridimensional cujas seções transversais são todas elipses. Ele é definido por três semieixos — meias extensões ao longo das três direções coordenadas:

  • a — o maior semieixo (ao longo do eixo x)
  • b — o semieixo intermediário (ao longo do eixo y)
  • c — o menor semieixo (ao longo do eixo z, profundidade)

Todo ponto da superfície satisfaz a equação x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1. Quando os três semieixos são iguais (a = b = c = r), o elipsoide se torna uma esfera.

Exemplos concretos incluem a Terra (um esferóide oblato, com a ≈ b > c), uma bola de rugby (esferóide prolato, a > b ≈ c), núcleos celulares, planetas e vasos de pressão em engenharia.

Fórmulas

PropriedadeFórmulaExata?
VolumeV = (4/3)πabcSim
Área da superfícieA ≈ 4π·[(aᵖbᵖ + aᵖcᵖ + bᵖcᵖ)/3]^(1/p), p = 1,6075Não (erro < 1,061%)

Derivação do volume

A fórmula V = (4/3)πabc é obtida integrando seções transversais elípticas. Em uma altura z, a seção horizontal é uma elipse com semieixos a·√(1 − z²/c²) e b·√(1 − z²/c²), cuja área é πab(1 − z²/c²). Integrando de z = −c a z = c:

V=∫−ccπab ⁣(1−z2c2)dz=πab[z−z33c2]−cc=πab⋅4c3=43πabcV = \int_{-c}^{c} \pi ab\!\left(1 - \frac{z^2}{c^2}\right) dz = \pi ab \left[z - \frac{z^3}{3c^2}\right]_{-c}^{c} = \pi ab \cdot \frac{4c}{3} = \frac{4}{3}\pi abc

Trata-se de uma generalização direta da fórmula da esfera: basta substituir cada r pelo semieixo correspondente (a, b ou c).

Por que a área da superfície não tem forma fechada

Para uma esfera, toda circunferência de latitude mantém a mesma relação de curvatura e a integral de superfície simplifica-se para 4πr². Em um elipsoide, a curvatura varia continuamente de ponto a ponto, e a integral de superfície reduz-se a integrais elípticas incompletas de primeiro e segundo graus — funções transcendentais sem forma elementar fechada.

Para o caso especial de um esferóide (dois semieixos iguais), as integrais simplificam-se para expressões elementares:

  • Esferóide oblato (a = b > c): A = 2πa²(1 + (c²/(a²e))·arcsin e), onde e = √(1 − c²/a²)
  • Esferóide prolato (a > b = c): A = 2πc²(1 + (a/(ce))·arcsin e), onde e = √(1 − c²/a²)

Para o elipsoide triaxial (a ≠ b ≠ c), é necessária uma aproximação prática.

Aproximação de Knud Thomsen

A aproximação mais precisa e simples para a área da superfície de um elipsoide triaxial é a fórmula de Knud Thomsen (2004):

A≈4π(apbp+apcp+bpcp3)1/p,p=1,6075A \approx 4\pi \left(\frac{a^p b^p + a^p c^p + b^p c^p}{3}\right)^{1/p}, \quad p = 1{,}6075

O expoente p = 1,6075 foi determinado empiricamente para minimizar o pior erro relativo possível. Para qualquer combinação de semieixos positivos, o erro máximo é inferior a 1,061%. Para a esfera (a = b = c), a fórmula é exata — reduz-se algebricamente a 4πa².

Casos especiais

FormaCondiçãoVolumeÁrea da superfície (exata)
Esferaa = b = c(4/3)πa³4πa²
Esferóide oblatoa = b > c(4/3)πa²c2πa² + (2πc²/e)·arcsin e, e = √(1 − c²/a²)
Esferóide prolatoa > b = c(4/3)πac²2πc² + (2πac/e)·arcsin e, e = √(1 − c²/a²)

Exemplo de cálculo

Um tanque aquário de formato elipsoidal tem semieixos a = 40 cm, b = 25 cm, c = 20 cm.

Volume:

V=43×π×0,40×0,25×0,20=43×π×0,020≈0,08378 m3≈83,8 LV = \frac{4}{3} \times \pi \times 0{,}40 \times 0{,}25 \times 0{,}20 = \frac{4}{3} \times \pi \times 0{,}020 \approx 0{,}08378 \text{ m}^3 \approx 83{,}8 \text{ L}

Área da superfície (Knud Thomsen, p = 1,6075):

  • 0,40^1,6075 ≈ 0,2293; 0,25^1,6075 ≈ 0,1077; 0,20^1,6075 ≈ 0,07523
  • aᵖbᵖ = 0,02469; aᵖcᵖ = 0,01725; bᵖcᵖ = 0,008102
  • Soma/3 = 0,01668; ^(1/1,6075) ≈ 0,07835
A≈4π×0,07835≈0,985 m2A \approx 4\pi \times 0{,}07835 \approx 0{,}985 \text{ m}^2

Com esse valor (~0,985 m²), o fabricante determina a quantidade de acrílico necessária para a parede do tanque.

Volume e a influência de cada semieixo

Como V = (4/3)πabc, dobrar qualquer semieixo individualmente dobra o volume — ao contrário da esfera, em que dobrar r multiplica V por 8. Dobrar os três semieixos simultaneamente multiplica o volume por 8, coerente com um fator de escala uniforme de 2.

AlteraçãoFator de volume
Dobrar apenas a×2
Dobrar apenas b×2
Dobrar os três semieixos×8
Triplicar os três×27

Perguntas frequentes (FAQ)

Qual é a fórmula do volume de um elipsoide?

O volume de um elipsoide com semieixos a, b e c é V = (4/3)πabc. Por exemplo, um elipsoide com a = 3 cm, b = 2 cm e c = 1 cm tem V = (4/3) × π × 3 × 2 × 1 = 8π ≈ 25,13 cm³. Quando os três semieixos são iguais (a = b = c = r), a fórmula reduz-se à fórmula da esfera V = (4/3)πr³.

Por que a área da superfície de um elipsoide é apenas aproximada?

A área exata de um elipsoide triaxial geral envolve integrais elípticas incompletas de primeiro e segundo graus — não existe forma fechada elementar. Utilizam-se, portanto, aproximações práticas. A fórmula de Knud Thomsen é a mais precisa entre as simples: A ≈ 4π·[(aᵖbᵖ + aᵖcᵖ + bᵖcᵖ)/3]^(1/p), com p = 1,6075. O erro relativo máximo é inferior a 1,061% para qualquer combinação de semieixos. Para a esfera (a = b = c), o resultado é exato.

Qual é a diferença entre um esferóide oblato e um esferóide prolato?

Um esferóide é um elipsoide com dois semieixos iguais. O esferóide oblato (como a Terra ou um disco achatado) tem dois semieixos maiores iguais e um menor: a = b > c. O esferóide prolato (como uma bola de rugby ou um ovo) tem dois semieixos menores iguais e um maior: a > b = c. Em ambos os casos a área da superfície pode ser calculada exatamente por funções elementares, ao contrário do caso triaxial geral.

Qual é a precisão da aproximação de Knud Thomsen?

A fórmula de Knud Thomsen com expoente p = 1,6075 tem erro relativo máximo inferior a 1,061% para qualquer combinação de semieixos positivos. O resultado é exato para a esfera (a = b = c) e os erros próximos ao limite de 1% ocorrem somente em razões de eixos extremas. Para a maioria das aplicações práticas — engenharia, design, biologia — o erro fica bem abaixo de 0,5%.

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