Última atualização: 2026-05-22

Definição

O fatorial de um inteiro não negativo $n$, escrito $n!$, é o produto de todos os inteiros positivos de 1 até $n$:

$$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1$$

Alguns valores importantes para conhecer:

n	n!
0	1 (por definição)
1	1
5	120
10	3.628.800
20	2.432.902.008.176.640.000

Convenção 0! = 1

$0! = 1$ decorre da relação recursiva $n! = n \times (n-1)!$: substituindo $n = 1$, obtemos $1! = 1 \times 0!$, o que exige $0! = 1$. Conceitualmente, existe exatamente uma forma de dispor zero objetos: não fazer nada. Essa definição garante que as fórmulas de permutações e combinações funcionem corretamente nos casos extremos.

Crescimento do fatorial

Os fatoriais crescem mais rápido do que qualquer função exponencial. Para $n = 13$, o resultado já passa de 6 bilhões ($13! = 6{.}227{.}020{.}800$). Para $n = 20$, o número tem 19 dígitos. Por isso esta calculadora está limitada a $n \leq 20$.

A aproximação de Stirling fornece uma boa estimativa para valores grandes de $n$:

$$n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$$

Onde os fatoriais aparecem

Contar arranjos. O número de formas de organizar $n$ objetos distintos em fila é exatamente $n!$. Cinco livros podem ser colocados em uma prateleira de $5! = 120$ maneiras diferentes.

Permutações e combinações. Ambas as fórmulas são construídas a partir de fatoriais:

$$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!} \qquad C(n,r) = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$$

Probabilidade. Os fatoriais aparecem na distribuição binomial, na distribuição de Poisson e em qualquer cálculo de probabilidades discretas sobre resultados ordenados.

Cálculo. As séries de Taylor usam fatoriais no denominador para controlar o crescimento dos termos sucessivos. A série exponencial é $e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$.

Observações práticas

Resultados inteiros exatos. Para $n \leq 20$, a calculadora retorna o valor exato sem arredondamento.

Permutações e combinações. A Calculadora de permutações — P(n, r) calcula $P(n, r)$ e a Calculadora de combinações — C(n, r) calcula $C(n, r)$ diretamente — sem necessidade de calcular os fatoriais separadamente.

Perguntas frequentes (FAQ)

O que é fatorial?

O fatorial de um inteiro não negativo n, escrito n!, é o produto de todos os inteiros positivos de 1 até n. Por exemplo, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Por convenção, 0! = 1. Os fatoriais crescem muito rapidamente: 20! já ultrapassa 2,4 × 10¹⁸.

Por que 0! é igual a 1?

0! = 1 segue da relação recursiva n! = n × (n−1)!: substituindo n = 1, obtemos 1! = 1 × 0!, o que exige 0! = 1. Conceitualmente, existe exatamente uma forma de arranjar zero objetos: não fazer nada. Essa definição garante que as fórmulas de permutações e combinações funcionem corretamente nos casos extremos.

Onde os fatoriais são usados?

Fatoriais aparecem em combinatória (permutações e combinações), teoria das probabilidades (coeficientes binomiais), cálculo (séries de Taylor como eˣ = Σ xⁿ/n!) e teoria dos números. Sempre que se contam os arranjos ordenados de n objetos distintos, um fatorial está envolvido.