Última atualização: 2026-05-18

Definição

Uma combinação $C(n, r)$ conta o número de formas de escolher $r$ elementos de um conjunto de $n$ elementos distintos, sem considerar a ordem. Escolher $\{A, B\}$ é o mesmo que escolher $\{B, A\}$.

$$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n - r)!}$$

Também é chamado de coeficiente binomial e lido como "$n$ escolhe $r$".

Exemplo resolvido

Quantas mãos de 5 cartas podem ser distribuídas de um baralho padrão de 52 cartas?

$$C(52, 5) = \frac{52!}{5!\,47!} = 2{.}598{.}960$$

Quase 2,6 milhões de mãos distintas com apenas 52 cartas.

Propriedade de simetria

$$C(n, r) = C(n, n - r)$$

Escolher 3 de 10 é equivalente a decidir quais 7 serão deixados de fora. Quando $r > n/2$, usar $C(n, n-r)$ simplifica o cálculo.

Triângulo de Pascal

$$C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)$$

Essa recorrência constrói o triângulo de Pascal, cuja linha $n$ lista $C(n, 0), C(n, 1), \ldots, C(n, n)$.

Combinação vs. permutação

Situação	Fórmula	Motivo
Comitê de 3 entre 10 candidatos	$C(10, 3)$	Só importa quem foi escolhido
Medalhas (ouro, prata, bronze) entre 10 atletas	$P(10, 3)$	A medalha depende da colocação
6 números de loteria entre 1–60	$C(60, 6)$	Só quais números, não a ordem
PIN de 4 dígitos sem repetição	$P(10, 4)$	A sequência determina o código

Para os mesmos $n$ e $r$: $C(n, r) = P(n, r) / r!$.

Aplicações comuns

• Probabilidade: mãos de pôquer, probabilidades de ganhar na loteria
• Seleção de equipes: escolher jogadores de um grupo
• Controle de qualidade e pesquisa: extrair amostras representativas de um lote
• Distribuição binomial: base dos modelos de probabilidade discreta

Notas práticas

Casos especiais. $C(n, 0) = C(n, n) = 1$: há exatamente uma forma de não escolher nada e uma de escolher tudo.

$r > n$ é indefinido. Não é possível escolher mais elementos do que o total disponível; a calculadora exibe um erro nesse caso.

Perguntas frequentes (FAQ)

O que é uma combinação?

Uma combinação C(n, r) é o número de formas de selecionar r elementos de um conjunto de n elementos distintos quando a ordem não importa. Escolher {A, B} é igual a escolher {B, A}. A fórmula é C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!), também chamado de coeficiente binomial ou "n escolhe r".

Quando usar combinação em vez de permutação?

Use combinação quando só importa o grupo selecionado, não a ordem: escolha de membros de equipe, números de loteria, coberturas de pizza. Use permutação quando a ordem determina o resultado: atribuição de assentos, classificações, sequências de senhas. Para os mesmos n e r: C(n, r) = P(n, r) / r!.

Qual é a fórmula de C(n, r)?

C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!). O r! no denominador divide todas as ordenações dos r elementos selecionados, pois são consideradas a mesma combinação. Exemplo: C(5, 2) = 120 / (2 × 6) = 10. Há 10 formas de escolher 2 elementos de 5 sem considerar a ordem.