Última atualização: 2026-05-21

O triângulo: o polígono mais simples da geometria

Um triângulo é um polígono com três lados e três ângulos. É a figura fechada mais simples na geometria plana, e sua área é uma das medidas mais fundamentais da matemática. Esta calculadora cobre quatro métodos: base e altura, fórmula de Heron (três lados), LAL (dois lados e o ângulo compreendido) e ALA (um lado e dois ângulos adjacentes).

Método base e altura

A fórmula mais direta é:

$A = \frac{1}{2} \times b \times h$

onde $b$ é o comprimento de qualquer lado escolhido como base e $h$ é a altura perpendicular — a distância medida em ângulo reto da base até o vértice oposto.

Essa fórmula funciona para todo tipo de triângulo:

• Triângulos acutângulos: o pé da altura cai dentro da base.
• Triângulos retângulos: um cateto é a base e o outro é a altura.
• Triângulos obtusângulos: o pé da altura cai fora da base, mas a fórmula permanece válida.

O fator ½

Um triângulo é exatamente a metade de um paralelogramo com a mesma base e a mesma altura. Basta duplicar o triângulo, girá-lo 180° e encaixá-lo ao longo de um lado para obter um paralelogramo de área $b \times h$. O triângulo tem, portanto, área $\frac{b \times h}{2}$.

Fórmula de Heron

Quando apenas os três comprimentos dos lados são conhecidos — sem altura ou ângulos — a fórmula de Heron fornece a área diretamente:

$s = \frac{a + b + c}{2}$

$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Aqui $s$ é o semiperímetro (metade do perímetro). A fórmula remonta a Heron de Alexandria (c. 60 d.C.).

Exemplo resolvido: triângulo retângulo 3-4-5

$s = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6$

$A = \sqrt{6 \times (6-3) \times (6-4) \times (6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6$

Verificação pelo método base-altura: os catetos 3 e 4 são perpendiculares, logo $A = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$. Ambos os métodos concordam.

LAL: dois lados e o ângulo compreendido

Quando se conhecem dois lados $p$ e $q$ e o ângulo $C$ entre eles, a área é:

$A = \frac{1}{2} \, p \, q \, \sin C$

Isso decorre da fórmula base-altura: usando $p$ como base, a altura equivale a $q \sin C$ (a componente de $q$ perpendicular a $p$).

Exemplo: $p = 5$, $q = 7$, $C = 60°$

$A = \frac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \sin 60° = \frac{35\sqrt{3}}{4} \approx 15{,}16$

Para $C = 90°$, $\sin 90° = 1$ e a fórmula se reduz à área clássica do triângulo retângulo $\frac{1}{2} p q$.

ALA: um lado e dois ângulos

Quando se conhecem o lado $c$ e os ângulos $A$ e $B$ em suas extremidades, a área é:

$A = \frac{c^2 \sin A \sin B}{2 \sin(A + B)}$

Obtém-se aplicando a lei dos senos para expressar os outros dois lados em termos de $c$ e substituindo na fórmula LAL. O terceiro ângulo é $C = 180° - A - B$.

Exemplo: $c = 8$, $A = 50°$, $B = 60°$ (logo $C = 70°$)

$A = \frac{64 \times \sin 50° \times \sin 60°}{2 \times \sin 110°} \approx 22{,}6$

Desigualdade triangular

Nem todo conjunto de três números positivos define um triângulo real. Três comprimentos $a$, $b$, $c$ formam um triângulo válido se e somente se:

$a + b > c, \quad b + c > a, \quad a + c > b$

Se qualquer uma dessas condições for violada, nenhum triângulo pode ser construído. Na fórmula de Heron, a violação torna negativa a expressão dentro da raiz quadrada — indicando imediatamente que a entrada é geometricamente impossível.

Aplicações no mundo real

Arquitetura e construção. As treliças triangulares são a espinha dorsal de telhados, pontes e guindastes, pois o triângulo é o único polígono que permanece rígido sob carga.

Topografia. Topógrafos medem os três lados de um terreno e aplicam a fórmula de Heron para calcular a área sem precisar traçar perpendiculares.

Computação gráfica. Toda superfície 3D é aproximada por uma malha de triângulos. A GPU calcula áreas de triângulos para determinar iluminação, sombras e detecção de colisões.

Navegação. A triangulação usa três pontos de referência conhecidos para localizar uma posição desconhecida.

Se o triângulo for retângulo, Calculadora do Teorema de Pitágoras permite encontrar o lado que falta antes de calcular a área. Para figuras relacionadas, veja também Calculadora de Área e Circunferência do Círculo e Calculadora de polígono regular.