Última atualização: 2026-05-18

Polígonos com lados e ângulos iguais

Um polígono regular tem todos os lados iguais e todos os ângulos internos iguais. Triângulo equilátero, quadrado, pentágono e hexágono regulares são os exemplos mais comuns. A partir do número de lados n e do comprimento do lado a, todas as outras medidas ficam completamente determinadas.

Esta calculadora retorna o perímetro, a área, o ângulo interno, o ângulo externo, a apótema (raio inscrito) e o raio circunscrito com base nesses dois valores.

Fórmulas

Perímetro:

$P = n \cdot a$

Ângulo interno (em cada vértice):

$\alpha = \frac{(n-2) \times 180°}{n}$

Ângulo externo (suplemento do interno, soma sempre 360°):

$\beta = \frac{360°}{n}$

Apótema (raio inscrito) — distância perpendicular do centro ao ponto médio de um lado:

$r = \frac{a}{2 \tan(\pi/n)}$

Raio circunscrito — distância do centro a cada vértice:

$R = \frac{a}{2 \sin(\pi/n)}$

Área:

$A = \frac{n \cdot a^2}{4 \tan(\pi/n)}$

Ângulos internos mais comuns

Lados	Nome	Ângulo interno
3	Triângulo equilátero	60°
4	Quadrado	90°
5	Pentágono	108°
6	Hexágono	120°
8	Octógono	135°
12	Dodecágono	150°

Exemplo resolvido

Problema: Um azulejo hexagonal regular tem lado de 8 cm. Calcule a área, a apótema e o raio circunscrito.

Para n = 6 e a = 8 cm:

$r = \frac{8}{2 \tan(30°)} \approx 6{,}928 \text{ cm}$

$R = \frac{8}{2 \sin(30°)} = 8 \text{ cm}$

$A = \frac{6 \times 64}{4 \tan(30°)} \approx 166{,}3 \text{ cm}^2$

No hexágono regular, o raio circunscrito é igual ao lado ($R = a$). Essa propriedade torna possível o encaixe perfeito dos hexágonos, como nas colmeias de abelhas.

Perguntas frequentes (FAQ)

Qual é a fórmula da área de um polígono regular?

A área de um polígono regular com n lados de comprimento a é A = (n·a²) / (4·tan(π/n)). Para um hexágono regular (n=6) com lado de 10 cm: A = (6 × 100) / (4 × tan(30°)) = 600 / (4 × 0,5774) ≈ 259,8 cm². Uma fórmula equivalente usa a apótema (raio inscrito): A = ½ × perímetro × apótema = ½ × n·a · r.

Como calcular o ângulo interno de um polígono regular?

O ângulo interno de um polígono regular de n lados é α = (n − 2) × 180° / n. O triângulo equilátero (n=3) tem 60°, o quadrado (n=4) tem 90°, o pentágono regular (n=5) tem 108° e o hexágono regular (n=6) tem 120°. O ângulo externo — suplemento do ângulo interno — é sempre 360°/n. A soma de todos os ângulos internos é (n−2) × 180°.

O que é a apótema de um polígono regular?

A apótema (também chamada de raio inscrito) é a distância perpendicular do centro do polígono ao ponto médio de qualquer lado. Para um polígono regular de n lados com comprimento a, a apótema é r = a / (2·tan(π/n)). É útil para calcular a área: A = ½ × perímetro × apótema. Ela também corresponde ao raio do maior círculo inscrito. O raio circunscrito, R = a / (2·sin(π/n)), representa a distância do centro a qualquer vértice.