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Gerado em: 20 de julho de 2026 às 21:34

Calculadora de distribuição exponencial

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Taxa0,5
Valor3
Limite inferior1
Limite superior4

Visualização

f(t)
t f(t)

Gerado com OneCalc · https://onecalc.app/pt-BR/math/exponential-distribution

Matemática

Calculadora de distribuição exponencial

Calcula a densidade f(x), a função de distribuição P(X≤x), a probabilidade de cauda P(X>x), a probabilidade de intervalo P(a≤X≤b), a média, a variância e a mediana a partir da taxa λ.

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Detalhes

Distribuição

f(t)
t f(t)

Passos

\begin{aligned} f(x) &= \lambda e^{-\lambda x} \\ &= 0,5 \cdot e^{-0,5 \cdot 3} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} P(X \le x) &= 1 - e^{-\lambda x} \\ &= 1 - e^{-0,5 \cdot 3} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} P(X > x) &= e^{-\lambda x} \\ &= e^{-0,5 \cdot 3} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} P(a \le X \le b) &= e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b} \\ &= e^{-0,5 \cdot 1} - e^{-0,5 \cdot 4} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \mu &= \dfrac{1}{\lambda} \\ &= \dfrac{1}{0,5} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \sigma^2 &= \dfrac{1}{\lambda^2} \\ &= \dfrac{1}{0,5^2} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \text{median} &= \dfrac{\ln 2}{\lambda} \\ &= \dfrac{\ln 2}{0,5} \\ &= ? \end{aligned}

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Distribuição exponencial

A distribuição exponencial é uma distribuição de probabilidade contínua que modela o tempo de espera entre eventos independentes que ocorrem a uma taxa média constante. É a contraparte contínua da distribuição de Poisson: enquanto Poisson conta quantos eventos acontecem em um intervalo fixo, a exponencial descreve quanto se espera entre eles. Aparece na engenharia de confiabilidade, na teoria de filas e na análise de sobrevivência.

Fórmula

Dado um parâmetro de taxa λ > 0 e um valor x ≥ 0, a função de densidade (PDF) é:

f(x)=λe−λx,x≥0f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0

A função de distribuição (CDF) dá a probabilidade de um tempo de espera de no máximo x:

P(X≤x)=1−e−λxP(X \leq x) = 1 - e^{-\lambda x}

A função de sobrevivência (probabilidade de cauda) é o seu complemento — a probabilidade de continuar esperando após x:

P(X>x)=e−λxP(X > x) = e^{-\lambda x}

A probabilidade de o tempo de espera cair em um intervalo [a, b] é a diferença da função de sobrevivência nos extremos:

P(a≤X≤b)=e−λa−e−λbP(a \leq X \leq b) = e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b}

A média, a variância e a mediana são funções compactas da taxa:

μ=1λ,σ2=1λ2,mediana=ln⁡2λ\mu = \frac{1}{\lambda}, \qquad \sigma^2 = \frac{1}{\lambda^2}, \qquad \text{mediana} = \frac{\ln 2}{\lambda}

Exemplo resolvido

Uma central de atendimento recebe chamadas a uma taxa média de λ = 0,5 chamada por minuto, portanto o intervalo médio é 1/0,5 = 2 minutos. Qual é a probabilidade de a próxima chamada chegar em até 3 minutos?

Com a CDF e x = 3:

P(X≤3)=1−e−0,5×3=1−e−1,5≈0,7769P(X \leq 3) = 1 - e^{-0,5 \times 3} = 1 - e^{-1,5} \approx 0,7769

Há uma probabilidade de 77,7 % de a próxima chamada chegar em até 3 minutos. A chance de esperar mais de 3 minutos é o complemento:

P(X>3)=e−1,5≈0,2231P(X > 3) = e^{-1,5} \approx 0,2231

A probabilidade de a espera ficar entre 1 e 4 minutos é:

P(1≤X≤4)=e−0,5−e−2≈0,6065−0,1353=0,4712P(1 \leq X \leq 4) = e^{-0,5} - e^{-2} \approx 0,6065 - 0,1353 = 0,4712

A densidade em x = 3 é:

f(3)=0,5 e−1,5≈0,1116f(3) = 0,5 \, e^{-1,5} \approx 0,1116

Dedução da fórmula

A CDF decorre diretamente da integração da densidade de 0 a x:

P(X≤x)=∫0xλe−λt dt=[−e−λt]0x=1−e−λxP(X \leq x) = \int_0^x \lambda e^{-\lambda t}\, dt = \left[ -e^{-\lambda t} \right]_0^x = 1 - e^{-\lambda x}

A média é obtida integrando x contra a densidade:

μ=∫0∞x λe−λx dx=1λ\mu = \int_0^\infty x\,\lambda e^{-\lambda x}\, dx = \frac{1}{\lambda}

A mediana resolve P(X ≤ m) = 0,5:

1−e−λm=12  ⟹  e−λm=12  ⟹  m=ln⁡2λ1 - e^{-\lambda m} = \tfrac{1}{2} \;\Longrightarrow\; e^{-\lambda m} = \tfrac{1}{2} \;\Longrightarrow\; m = \frac{\ln 2}{\lambda}

Como ln 2 ≈ 0,693 < 1, a mediana é sempre menor que a média 1/λ, refletindo a assimetria à direita da distribuição.

A propriedade de falta de memória

A distribuição exponencial é a única distribuição contínua sem memória:

P(X>s+t∣X>s)=P(X>t)P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)

Ter esperado s unidades de tempo não fornece nenhuma informação sobre a espera restante. Por isso o modelo serve para componentes com taxa de falha constante — peças que não "envelhecem" no sentido estatístico — e fundamenta a propriedade de Markov dos processos em tempo contínuo.

Relação com outras distribuições

  • Poisson: se os eventos seguem um processo de Poisson com taxa λ, a contagem em um intervalo fixo é Poisson(λ) e o tempo entre eventos consecutivos é Exponencial(λ). Contar usa Poisson; medir os intervalos usa a exponencial.
  • Geométrica: a geométrica modela o número de ensaios discretos até o primeiro sucesso. A exponencial é o seu análogo em tempo contínuo.
  • Gama: a soma de k tempos de espera Exponencial(λ) independentes segue uma Gama(k, λ) — o tempo até o k-ésimo evento de um processo de Poisson.
  • Weibull: a exponencial é o caso especial da Weibull com parâmetro de forma 1, correspondente a uma taxa de risco constante.

Aplicações práticas

  • Engenharia de confiabilidade: modelar o tempo até a falha de componentes com taxa de risco constante, base da fase de "vida útil" da curva da banheira.
  • Teoria de filas: representar tempos entre chegadas e de serviço em modelos M/M/1 e afins.
  • Análise de sobrevivência: modelo de risco de base para dados de tempo até o evento em medicina e atuária.
  • Física: descrever o tempo entre decaimentos radioativos, em que cada núcleo decai de forma independente a taxa fixa.
  • Telecomunicações: modelar o tempo ocioso entre chegadas de pacotes na análise de tráfego de rede.

Perguntas frequentes (FAQ)

Quando a distribuição exponencial é adequada?

Use a distribuição exponencial para modelar o tempo de espera entre eventos independentes que ocorrem a uma taxa média constante. Exemplos típicos incluem o tempo até a chegada do próximo cliente, a vida útil de um componente com taxa de falha constante e o intervalo entre decaimentos radioativos. É a contraparte contínua da distribuição geométrica e o parceiro de "tempo de espera" da distribuição de Poisson.

O que é a propriedade de falta de memória?

A distribuição exponencial é a única distribuição contínua sem memória: P(X > s + t | X > s) = P(X > t). Ter esperado s unidades de tempo não dá nenhuma informação sobre quanto tempo ainda falta esperar — a espera restante tem a mesma distribuição de um novo começo. Por isso ela modela sistemas sem desgaste, como um componente cuja taxa de falha não aumenta com a idade.

Qual é a diferença entre a taxa λ e a média?

A taxa λ conta quantos eventos ocorrem por unidade de tempo, enquanto a média 1/λ mede o tempo médio entre eventos. São inversas: se os eventos chegam a λ = 2 por hora, o intervalo médio é 1/2 = 0,5 hora. Algumas referências parametrizam a exponencial pela média (muitas vezes chamada de escala) em vez da taxa; esta calculadora usa a taxa λ.

Como a distribuição exponencial se relaciona com a de Poisson?

Elas descrevem o mesmo processo sob dois pontos de vista. Se os eventos seguem um processo de Poisson com taxa λ, o número de eventos em um intervalo fixo segue uma distribuição de Poisson e o tempo entre eventos consecutivos segue uma distribuição exponencial com a mesma taxa λ. Contar eventos usa Poisson; medir os intervalos usa a exponencial.

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