Última atualização: 2026-07-01

A equação da circunferência

Uma circunferência é o conjunto de todos os pontos a uma distância fixa — o raio $r$ — de um ponto fixo — o centro $(h, k)$. Traduzir essa definição para coordenadas dá a forma reduzida da circunferência:

$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

Desenvolvendo os quadrados e agrupando os termos, chega-se à forma geral:

$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$

As duas equações descrevem a mesma circunferência. A forma reduzida deixa o centro e o raio à mostra; a forma geral os esconde, mas é a expressão que surge naturalmente quando uma equação é dada "crua". Esta calculadora converte entre as duas em qualquer sentido.

Da forma geral ao centro e ao raio

Dada $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$, o centro e o raio são:

$\text{centro} = \left(-\frac{D}{2},\ -\frac{E}{2}\right) \qquad r = \sqrt{\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F}$

As coordenadas do centro saem diretamente dos coeficientes de $x$ e $y$. Para o raio, a quantidade sob a raiz — o radicando $\tfrac{D^2}{4} + \tfrac{E^2}{4} - F$ — precisa ser positiva para que exista uma circunferência de fato.

Completar quadrados

A conversão nada mais é do que completar quadrados aplicado às duas variáveis ao mesmo tempo. Comece pela forma geral e agrupe:

$(x^2 + Dx) + (y^2 + Ey) = -F$

Para completar cada quadrado, some o quadrado da metade do coeficiente linear aos dois lados — $\left(\tfrac{D}{2}\right)^2$ para o grupo em $x$ e $\left(\tfrac{E}{2}\right)^2$ para o grupo em $y$:

$\left(x + \tfrac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \tfrac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F$

O lado esquerdo agora é a soma de dois quadrados perfeitos com centro $\left(-\tfrac{D}{2}, -\tfrac{E}{2}\right)$, e o direito é $r^2$. Essa é exatamente a forma reduzida.

Exemplo resolvido

Problema: Encontre o centro e o raio de $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0$.

Passo 1 — identificar os coeficientes: $D = -4$, $E = 6$, $F = 9$.

Passo 2 — encontrar o centro:

$\text{centro} = \left(-\frac{-4}{2},\ -\frac{6}{2}\right) = (2,\ -3)$

Passo 3 — encontrar o raio:

$r = \sqrt{\frac{(-4)^2}{4} + \frac{6^2}{4} - 9} = \sqrt{4 + 9 - 9} = \sqrt{4} = 2$

Assim, a circunferência tem centro $(2, -3)$ e raio $2$, e sua forma reduzida é $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4$.

Do centro e do raio de volta à forma geral

No sentido inverso, desenvolva os quadrados da forma reduzida. Com centro $(h, k)$ e raio $r$:

$D = -2h \qquad E = -2k \qquad F = h^2 + k^2 - r^2$

Para o exemplo acima, $h = 2$, $k = -3$, $r = 2$ dão $D = -4$, $E = 6$ e $F = 4 + 9 - 4 = 9$, recuperando a forma geral original $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0$.

Quando não há circunferência real

O raio só é real quando o radicando é positivo:

$\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F > 0$

Surgem três casos:

• Radicando positivo — uma circunferência real com $r = \sqrt{\text{radicando}}$.
• Radicando nulo — a equação se reduz ao único ponto $\left(-\tfrac{D}{2}, -\tfrac{E}{2}\right)$, uma "circunferência pontual" degenerada de raio $0$.
• Radicando negativo — nenhum ponto real satisfaz a equação. Às vezes é chamada de circunferência imaginária; geometricamente não há nada para desenhar.

Por exemplo, $x^2 + y^2 + 1 = 0$ tem $D = E = 0$ e $F = 1$, então o radicando é $-1$. Nenhum par real $(x, y)$ pode fazer uma soma de quadrados valer $-1$, logo não há circunferência.

Por que a forma geral importa

A forma geral $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ é a equação do segundo grau em que os coeficientes de $x^2$ e $y^2$ são iguais e não há termo $xy$ — a assinatura algébrica de uma circunferência entre as cônicas. Reconhecê-la permite saber de relance se uma equação de segundo grau bagunçada é uma circunferência (coeficientes quadráticos iguais, sem termo cruzado) antes de qualquer cálculo, e completar quadrados então revela seu centro e seu raio.

Perguntas frequentes (FAQ)

Qual a diferença entre a forma reduzida e a geral de uma circunferência?

A forma reduzida (x − h)² + (y − k)² = r² mostra o centro (h, k) e o raio r diretamente — dá para ler na hora. A forma geral x² + y² + Dx + Ey + F = 0 é a versão desenvolvida; esconde o centro e o raio, mas é conveniente para a álgebra e para comparar com outras cônicas. As duas descrevem a mesma circunferência, e a conversão se faz completando quadrados (geral → reduzida) ou desenvolvendo os quadrados (reduzida → geral).

Como encontro o centro e o raio a partir de x² + y² + Dx + Ey + F = 0?

Complete quadrados separadamente para x e y. O centro é (−D/2, −E/2) e o raio r = √(D²/4 + E²/4 − F). Por exemplo, x² + y² − 4x + 6y + 9 = 0 tem centro (2, −3) e raio √(4 + 9 − 9) = √4 = 2.

Como completar quadrados transforma a forma geral na reduzida?

Agrupe os termos em x e em y: (x² + Dx) + (y² + Ey) = −F. Some (D/2)² e (E/2)² aos dois lados para completar cada quadrado: (x + D/2)² + (y + E/2)² = D²/4 + E²/4 − F. O lado esquerdo passa a ser dois quadrados perfeitos com centro (−D/2, −E/2), e o direito é r². Essa é a forma reduzida.

Quando a equação não representa uma circunferência real?

O raio ao quadrado é r² = D²/4 + E²/4 − F. Se esse valor for negativo, nenhum par real (x, y) satisfaz a equação, então não há circunferência (às vezes chamada de circunferência imaginária). Se for exatamente zero, a equação se reduz a um único ponto no centro — uma "circunferência pontual" degenerada de raio 0. Uma circunferência de verdade exige D²/4 + E²/4 − F > 0.