Última atualização: 2026-05-18

Definição

Uma elipse é uma curva fechada definida por dois pontos fixos chamados focos: para qualquer ponto da curva, a soma de suas distâncias aos dois focos é constante. Quando os dois focos coincidem, a elipse se torna uma circunferência — a circunferência é, portanto, um caso especial da elipse.

Toda elipse possui dois eixos de simetria:

• Eixo maior: o diâmetro mais longo, que passa pelos dois focos. Sua metade é o semieixo maior a.
• Eixo menor: o diâmetro mais curto, perpendicular ao eixo maior. Sua metade é o semieixo menor b.

Por convenção, a ≥ b > 0.

Fórmula da área

A área de uma elipse é:

A = π × a × b

Esta fórmula exata foi demonstrada por Arquimedes em sua obra Medida do círculo, usando o método da exaustão — um precursor do cálculo integral. Para a = b = r, obtém-se a área do círculo πr².

Exemplo: uma elipse com a = 6 cm e b = 4 cm tem:

A = π × 6 × 4 = 24π ≈ 75,40 cm²

Perímetro (aproximação)

Ao contrário da área, não existe uma fórmula fechada simples para o perímetro de uma elipse. O valor exato requer uma integral elíptica que não pode ser expressa com funções elementares.

Esta calculadora usa a primeira aproximação de Ramanujan (1914), notavelmente precisa:

$P \approx \pi \times [3(a + b) - \sqrt{(3a + b)(a + 3b)}]$

Para a = b = r (circunferência):

$P = \pi \times [6r - 4r] = 2\pi r$ (exato)

Para a maioria das elipses, o erro é inferior a 0,0001%.

Exemplo resolvido

Elipse com a = 6 cm e b = 4 cm:

$P \approx \pi \times [3(6 + 4) - \sqrt{(3 \times 6 + 4)(6 + 3 \times 4)}]$ $= \pi \times [30 - \sqrt{22 \times 18}]$ $= \pi \times [30 - \sqrt{396}]$

= π × [30 − 19,90...]
≈ π × 10,10
≈ 31,73 cm

Excentricidade

A excentricidade e mede o quanto a elipse se afasta de um círculo perfeito:

$e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$

Forma	Excentricidade
Círculo	e = 0
Levemente oval	e ≈ 0,1–0,3
Moderadamente alongada	e ≈ 0,5–0,7
Muito alongada	e → 1

A excentricidade de uma elipse é sempre entre 0 (inclusive) e 1 (exclusive).

Exemplos do mundo real

As órbitas planetárias são elipses com o Sol em um dos focos (primeira lei de Kepler):

Corpo	Semieixo maior	Excentricidade
Órbita da Terra	149,6 milhões km	≈ 0,017
Órbita de Marte	227,9 milhões km	≈ 0,093
Cometa Halley	2.667,9 milhões km	≈ 0,967

A órbita da Terra é quase circular (e ≈ 0,017). As estações surgem da inclinação do eixo terrestre, não da variação de distância ao Sol.

Perguntas frequentes (FAQ)

Qual é a fórmula para calcular a área de uma elipse?

A área de uma elipse é A = π × a × b, onde a é o semieixo maior e b é o semieixo menor. Esta fórmula exata foi demonstrada por Arquimedes. Para a = 6 cm e b = 4 cm: A = π × 6 × 4 = 24π ≈ 75,40 cm². Quando a = b = r, reduz-se à área do círculo πr².

Existe uma fórmula exata para o perímetro de uma elipse?

Não existe fórmula fechada simples para o perímetro de uma elipse — o valor exato requer uma integral elíptica. Na prática, usa-se a primeira aproximação de Ramanujan: P ≈ π × [3(a + b) − √((3a + b)(a + 3b))]. Para a = b (círculo) o resultado é exatamente 2πr. Para elipses típicas (excentricidade abaixo de 0,9), o erro é inferior a 0,0001%.

O que a excentricidade diz sobre uma elipse?

A excentricidade e = √(1 − (b/a)²) mede o quanto a elipse se afasta de um círculo perfeito. e = 0 corresponde a um círculo; quanto mais e se aproxima de 1, mais alongada é a elipse. A órbita da Terra tem e ≈ 0,017 (quase circular) e o cometa Halley tem e ≈ 0,967 (muito alongado).

Qual é a diferença entre uma elipse e um óvalo?

Uma elipse é uma curva matematicamente precisa: a soma das distâncias de qualquer ponto da curva a seus dois focos é constante. "Óvalo" é um termo informal para qualquer curva fechada, suave e arredondada. Ovos são óvalos, mas não elipses, pois são assimétricos. Toda elipse é um óvalo, mas nem todo óvalo é uma elipse.