Última atualização: 2026-05-19

Lei dos cossenos

A lei dos cossenos relaciona os três lados de um triângulo com o cosseno de um de seus ângulos. Para um triângulo com lados a, b, c e o ângulo C oposto ao lado c, a fórmula é:

c² = a² + b² − 2ab cos(C)

Esta equação abrange dois problemas clássicos de resolução de triângulos:

• SAS (Lado-Ângulo-Lado): Dois lados e o ângulo entre eles são conhecidos. A lei dos cossenos fornece o terceiro lado.

• SSS (Lado-Lado-Lado): Os três lados são conhecidos. Reorganizando a fórmula três vezes, obtêm-se todos os ângulos:

  A = arccos((b² + c² − a²) / (2bc))
  B = arccos((a² + c² − b²) / (2ac))
  C = arccos((a² + b² − c²) / (2ab))

Como usar esta calculadora

Modo SAS — selecione "SAS — Calcular lado c", insira os lados a e b e o ângulo C entre eles (em graus). A calculadora retorna o lado c.

Modo SSS — selecione "SSS — Calcular ângulos", insira os três lados a, b, c. A calculadora retorna os três ângulos A, B, C em graus.

Exemplo resolvido: SAS

Um topógrafo mede dois lados de um terreno triangular — 83 m e 112 m — com um ângulo de 54° entre eles. Qual é o comprimento do terceiro lado?

• a = 83, b = 112, C = 54°
• c² = 83² + 112² − 2 × 83 × 112 × cos 54°
• c² = 6 889 + 12 544 − 18 592 × 0,5878
• c² ≈ 8 502
• c ≈ 92,2 m

Exemplo resolvido: SSS

Um jardim triangular tem lados de 5 m, 7 m e 6 m. Quais são os ângulos nos cantos?

• A = arccos((49 + 36 − 25) / (2 × 7 × 6)) = arccos(60/84) ≈ 44,4°
• B = arccos((25 + 36 − 49) / (2 × 5 × 6)) = arccos(12/60) ≈ 78,5°
• C = arccos((25 + 49 − 36) / (2 × 5 × 7)) = arccos(38/70) ≈ 57,1°

Verificação: 44,4° + 78,5° + 57,1° = 180°. ✓

Por que a fórmula funciona: relação com o teorema de Pitágoras

O Calculadora do Teorema de Pitágoras (c² = a² + b²) é um caso especial da lei dos cossenos. Quando C = 90°, cos 90° = 0 e o termo 2ab cos C desaparece.

Para outros ângulos:

• C < 90° (agudo): cos C > 0, o termo subtraído encurta c.
• C > 90° (obtuso): cos C < 0, o termo é somado e c fica maior.

Essa intuição vem diretamente da definição do produto escalar, que mede quanto um vetor se projeta sobre outro.

Lei dos cossenos vs. lei dos senos

Informação disponível	Usar
Dois lados + ângulo compreendido (SAS)	Lei dos cossenos
Os três lados (SSS)	Lei dos cossenos
Dois ângulos + um lado (AAS / ASA)	Lei dos senos
Dois lados + ângulo não compreendido (SSA)	Lei dos senos (atenção ao caso ambíguo)

A lei dos senos é mais simples quando há um par lado-ângulo oposto. A lei dos cossenos não tem caso ambíguo e é a escolha segura para SAS e SSS.

Desigualdade triangular

Para que três comprimentos formem um triângulo, cada lado deve ser menor que a soma dos outros dois. Se isso não ocorrer (ex.: lados 1, 2 e 10), o argumento do arcocosseno fica fora de [−1, 1] e a calculadora exibe um erro. Verificação rápida: ordene os lados em ordem crescente e confirme que a soma dos dois menores supera o maior.

Perguntas frequentes (FAQ)

Qual é a relação entre a lei dos cossenos e o teorema de Pitágoras?

A lei dos cossenos c² = a² + b² − 2ab cos C generaliza o teorema de Pitágoras para qualquer triângulo. Quando C = 90°, cos 90° = 0 e a fórmula se reduz a c² = a² + b². Para ângulos agudos (C < 90°) o termo 2ab cos C é positivo e c é menor; para ângulos obtusos (C > 90°), cos C é negativo e c é maior.

Quando usar a lei dos cossenos em vez da lei dos senos?

Use a lei dos cossenos nos casos SAS (dois lados e o ângulo entre eles) ou SSS (os três lados). A lei dos senos é mais simples quando você já tem um par lado-ângulo oposto, mas no caso SSA pode dar duas soluções (caso ambíguo). A lei dos cossenos sempre retorna uma resposta única.

O que posso calcular no modo SAS?

Com dois lados e o ângulo entre eles, você obtém o terceiro lado: c = √(a² + b² − 2ab cos C). Exemplo: a = 5, b = 7, C = 60° → c = √39 ≈ 6,245. Com os três lados conhecidos, passe para o modo SSS para encontrar os ângulos restantes.

O que acontece se os três lados não formam um triângulo válido?

A desigualdade triangular exige que cada lado seja menor que a soma dos outros dois. Se essa condição não for satisfeita (ex.: lados 1, 2 e 10), o argumento do arcocosseno fica fora de [−1, 1] e a calculadora exibe um erro. Verificação rápida: ordene os lados em ordem crescente e confirme que a soma dos dois menores supera o maior.