Última atualização: 2026-05-19

O discriminante da equação do 2.º grau

O discriminante de uma equação do 2.º grau ax² + bx + c = 0 é a expressão D = b² − 4ac. Ele diz quantas raízes reais a equação tem e qual é o seu tipo — sem precisar aplicar a fórmula de Bhaskara por completo. Apenas o sinal de D já basta para classificar as raízes. É um conteúdo central do Ensino Médio e aparece em vestibulares e no ENEM com frequência.

Como calcular o discriminante

1. Elevar ao quadrado o coeficiente do meio: b²
2. Multiplicar os coeficientes extremos por quatro: 4 × a × c
3. Subtrair: D = b² − 4ac

Não é necessário calcular raiz quadrada nem fração nessa etapa. O sinal do resultado classifica as raízes diretamente.

Sinal de D e tipo de raízes

Quando D = 0, o vértice da parábola fica exatamente sobre o eixo x e a única raiz real é x = −b / (2a).

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — D > 0 (duas raízes reais distintas)

Equação: x² − 5x + 6 = 0 (a = 1, b = −5, c = 6)

Cálculo: b² = 25, 4ac = 24, D = 25 − 24 = 1

Como D = 1 > 0, existem duas raízes reais distintas. Aplicando a fórmula de Bhaskara, obtemos x₁ = 2 e x₂ = 3, que são os pontos onde a parábola y = x² − 5x + 6 cruza o eixo x.

Exemplo 2 — D = 0 (raiz dupla)

Equação: x² − 6x + 9 = 0 (a = 1, b = −6, c = 9)

Cálculo: b² = 36, 4ac = 36, D = 36 − 36 = 0

A raiz dupla é x = −(−6) / (2 × 1) = 3. A equação se fatora como (x − 3)² = 0 e a parábola toca o eixo x apenas no vértice, em x = 3.

Exemplo 3 — D < 0 (raízes complexas)

Equação: x² + x + 1 = 0 (a = 1, b = 1, c = 1)

Cálculo: b² = 1, 4ac = 4, D = 1 − 4 = −3

Como D = −3 < 0, não há raízes reais. As duas raízes são os complexos conjugados $x = (-1 \pm \sqrt{3}\,i) / 2 \approx -0{,}5 \pm 0{,}866i$. A calculadora exibe $\sqrt{|D|} = \sqrt{3} \approx 1{,}732$, que é o módulo da parte imaginária.

Relação com a fórmula de Bhaskara

A fórmula de Bhaskara é:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

O radicando sob a raiz quadrada é exatamente o discriminante D. Quando D > 0, $\sqrt{D}$ é real e positivo, e o ± produz duas raízes distintas. Quando D = 0, a raiz se anula e resta uma única raiz. Quando D < 0, $\sqrt{D}$ é imaginário e a fórmula gera dois números complexos conjugados. Calcular D primeiro economiza tempo: você já sabe em qual dos três casos está antes de concluir a conta.

Caso especial: a = 0

Se a = 0, a equação ax² + bx + c = 0 passa a ser a equação do 1.º grau bx + c = 0. A fórmula D = b² − 4ac produz um valor (b²), mas esse número não tem o significado do discriminante de uma equação do 2.º grau. Esta calculadora exige a ≠ 0 e exibe uma mensagem de erro quando a = 0. A solução da equação linear é x = −c / b (para b ≠ 0).