Última atualização: 2026-06-06

Definição

O tronco de pirâmide — também chamado de pirâmide truncada — é o sólido obtido pela interseção de uma pirâmide com um plano paralelo à base, removendo a parte superior. O sólido resultante possui duas bases poligonais paralelas: a base inferior, de área A₁, e a base superior, de área A₂, unidas por faces laterais trapezoidais. A altura h é a distância perpendicular entre as duas bases.

Diferentemente do tronco de cone, cujas bases são sempre círculos, o tronco de pirâmide admite qualquer polígono como base, desde que as duas bases sejam semelhantes — mesma forma geométrica em escalas distintas.

Fórmula

O volume do tronco de pirâmide é calculado pela fórmula prismática:

$V = \frac{h}{3}\!\left(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 A_2}\right)$

onde A₁ é a área da base inferior, A₂ é a área da base superior e h é a altura perpendicular entre as bases.

Os três termos — A₁, A₂ e √(A₁A₂) — representam, respectivamente, a área da base inferior, a área da base superior e a média geométrica das duas áreas. Cada parcela é ponderada igualmente por h/3.

Por que a fórmula tem três termos

A demonstração parte da construção da pirâmide completa. Seja H a altura total da pirâmide desde a base inferior até o vértice, e A₁ a área dessa base. A pirâmide menor retirada do topo tem altura H − h e área de base A₂. Pela lei de escalamento de sólidos semelhantes, as áreas são proporcionais ao quadrado do fator linear:

$\frac{A_2}{A_1} = \left(\frac{H - h}{H}\right)^2$

Resolvendo para H e substituindo na diferença de volumes:

$V = \frac{A_1 H}{3} - \frac{A_2 (H - h)}{3}$

Eliminando H algebricamente e simplificando, a expressão reduz-se exatamente à forma de três termos. A média geométrica √(A₁A₂) surge porque ela corresponde à área da seção transversal intermediária quando a pirâmide é estendida até o vértice.

Casos limite

Dois casos degenerados servem de verificação para qualquer cálculo de tronco:

Pirâmide completa (A₂ = 0): a fórmula reduz-se a V = A₁·h/3, que é a fórmula clássica do volume de pirâmide. O termo da média geométrica se anula.

Prisma (A₁ = A₂ = A): a fórmula torna-se V = (h/3)(A + A + A) = A·h, a fórmula padrão do volume de prisma. Isso confirma que um tronco com bases iguais é simplesmente um prisma.

Exemplo resolvido

Uma jardineira de concreto tem base inferior quadrada de 30 cm × 30 cm, base superior quadrada de 20 cm × 20 cm e altura de 25 cm.

• A₁ = 30 × 30 = 900 cm²
• A₂ = 20 × 20 = 400 cm²
• √(A₁·A₂) = √(900 × 400) = √360.000 = 600 cm²
• V = (25/3)(900 + 400 + 600) = (25/3) × 1.900 ≈ 15.833 cm³ ≈ 15,8 litros

A jardineira comporta aproximadamente 15,8 litros de substrato — equivalente a um saco padrão de 15 litros de terra adubada.

Entrada direta de áreas

Esta calculadora recebe as áreas de base diretamente, sem exigir as dimensões individuais dos lados. Isso torna a fórmula aplicável a qualquer formato de base: basta informar a área de um tronco hexagonal, triangular ou qualquer outro polígono, sem necessidade de fórmulas separadas por formato. Para uma base quadrada com lado s, use A = s². Para um hexágono regular com lado a, use A = (3√3/2)a².

Calculadoras relacionadas

• Calculadora de Pirâmide — volume, áreas das faces e apótema de uma pirâmide completa
• Calculadora de Tronco de Cone — volume e área lateral do tronco de cone
• Calculadora de Paralelepípedo — volume e área total do paralelepípedo (caso especial A₁ = A₂)