Última atualização: 2026-06-05

Distância de um ponto a uma reta

A distância de um ponto P = (p_x, p_y) a uma reta é o comprimento do menor segmento que une P a algum ponto da reta. Esse segmento mínimo é sempre perpendicular à reta — por isso a distância também é chamada de distância perpendicular.

Para uma reta na forma geral Ax + By + C = 0, a fórmula é:

$d = \frac{|Ap_x + Bp_y + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

O denominador normaliza o resultado pelo módulo do vetor normal da reta, convertendo a expressão algébrica em uma medida geométrica real.

Demonstração

O vetor normal à reta Ax + By + C = 0 é n = (A, B). Qualquer ponto Q = (x₀, y₀) pertencente à reta satisfaz Ax₀ + By₀ + C = 0.

A projeção com sinal do vetor QP = (p_x − x₀, p_y − y₀) sobre o vetor normal unitário n̂ = (A, B)/|n| é:

$\text{distância com sinal} = \frac{A(p_x - x_0) + B(p_y - y_0)}{|\mathbf{n}|} = \frac{Ap_x + Bp_y - (Ax_0 + By_0)}{|\mathbf{n}|}$

Como Q pertence à reta, tem-se Ax₀ + By₀ = −C, e portanto:

$\text{distância com sinal} = \frac{Ap_x + Bp_y + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

O valor absoluto dessa expressão fornece a distância geométrica d, sempre não negativa. O sinal indica de qual lado da reta o ponto P se encontra.

Pé da perpendicular

O pé da perpendicular F é o ponto da reta mais próximo de P. Parte-se de P e percorre-se a reta na direção do vetor normal por um deslocamento t = (Ap_x + Bp_y + C) / (A² + B²):

$F_x = p_x - \frac{A(Ap_x + Bp_y + C)}{A^2 + B^2}, \qquad F_y = p_y - \frac{B(Ap_x + Bp_y + C)}{A^2 + B^2}$

Pode-se verificar que AF_x + BF_y + C = 0 (F pertence à reta) e que o comprimento do segmento PF é igual a d.

Exemplo resolvido

Problema: Determine a distância do ponto P = (1, −2) à reta 3x − 4y + 5 = 0 e localize o pé da perpendicular.

Passo 1 — numerador e denominador:

$Ap_x + Bp_y + C = 3(1) + (-4)(-2) + 5 = 3 + 8 + 5 = 16$

$\sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Passo 2 — distância:

$d = \frac{|16|}{5} = 3{,}2$

Passo 3 — coordenadas do pé:

$t = \frac{16}{25} = 0{,}64$

$F_x = 1 - 3 \times 0{,}64 = 1 - 1{,}92 = -0{,}92, \qquad F_y = -2 - (-4) \times 0{,}64 = -2 + 2{,}56 = 0{,}56$

Verificação: 3(−0,92) + (−4)(0,56) + 5 = −2,76 − 2,24 + 5 = 0 ✓

O ponto P está a 3,2 unidades da reta, e o ponto da reta mais próximo é F = (−0,92; 0,56).

Conversão da forma reduzida para a forma geral

Se a reta estiver expressa na forma reduzida y = mx + b, basta reescrever:

$mx - y + b = 0 \quad \Rightarrow \quad A = m,\; B = -1,\; C = b$

Por exemplo, a reta y = 2x − 3 torna-se 2x − y − 3 = 0, com A = 2, B = −1 e C = −3.

Multiplicar todos os coeficientes A, B e C por uma mesma constante não nula não altera a reta nem a distância calculada, pois numerador e denominador escalam pelo mesmo fator e se cancelam.

Distância com sinal

A calculadora retorna a distância não negativa d ≥ 0. A versão com sinal, (Ap_x + Bp_y + C) / √(A² + B²), é positiva quando P está do mesmo lado que o vetor normal e negativa do lado oposto. Essa versão com sinal é útil em aplicações como:

• Verificação de pertinência a semiplanos
• Algoritmos de separação em aprendizado de máquina (classificadores de margem máxima)
• Determinação da orientação relativa de um ponto em relação a uma reta orientada

Casos especiais

• Ponto sobre a reta: Ap_x + Bp_y + C = 0, logo d = 0 e F = P.
• Reta horizontal (A = 0): a fórmula simplifica-se para d = |By + C| / |B|.
• Reta vertical (B = 0): simplifica-se para d = |Ax + C| / |A|.
• Equação degenerada (A = B = 0): se C = 0, todo ponto do plano satisfaz a equação (não é uma reta); se C ≠ 0, nenhum ponto satisfaz. Em ambos os casos, a fórmula da distância é indefinida.

Relação com o teorema de Pitágoras

A demonstração pode ser visualizada geometricamente: o ponto P, o pé F e qualquer terceiro ponto Q da reta formam um triângulo retângulo com o ângulo reto em F. A hipotenusa PQ satisfaz PQ² = PF² + FQ², confirmando que PF (a distância perpendicular) é estritamente menor que qualquer outro segmento traçado de P à reta — exceto quando P já está sobre a reta.