Última atualização: 2026-05-20

O completamento do quadrado

O completamento do quadrado transforma a expressão $ax^2 + bx + c$ na forma canônica $a(x - h)^2 + k$, onde $(h, k)$ são as coordenadas do vértice da parábola. A calculadora realiza essa transformação e exibe o desenvolvimento passo a passo.

O método do completamento do quadrado

Partindo de $ax^2 + bx + c$:

Passo 1 — Calcule h (abscissa do vértice):

$$h = -\frac{b}{2a}$$

Passo 2 — Calcule k (ordenada do vértice):

$$k = c - \frac{b^2}{4a}$$

Passo 3 — Escreva na forma canônica:

$$ax^2 + bx + c = a(x - h)^2 + k$$

Por que isso funciona

Fatore $a$ nos dois primeiros termos e complete o quadrado dentro dos parênteses:

$$a\!\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c = a\!\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{\!2} - \frac{b^2}{4a} + c$$

O termo $\left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2}$ é somado dentro dos parênteses (acrescentando $a \cdot \frac{b^2}{4a^2} = \frac{b^2}{4a}$ à expressão) e imediatamente subtraído fora, mantendo a equivalência. Substituindo $h = -\frac{b}{2a}$ e $k = c - \frac{b^2}{4a}$ obtemos $a(x - h)^2 + k$.

Exemplo resolvido

Reescreva $x^2 - 6x + 11$ na forma canônica.

Aqui $a = 1$, $b = -6$, $c = 11$.

$$h = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$$ $$k = 11 - \frac{(-6)^2}{4 \cdot 1} = 11 - 9 = 2$$ $$x^2 - 6x + 11 = (x - 3)^2 + 2$$

Verificação: $(x - 3)^2 + 2 = x^2 - 6x + 9 + 2 = x^2 - 6x + 11$ ✓

O vértice é $(3, 2)$, o eixo de simetria é $x = 3$ e o valor mínimo da expressão é $2$.

O que o vértice revela

Propriedade	Valor
Vértice	$(h,\, k)$
Eixo de simetria	$x = h$
Mínimo (se $a > 0$)	$y = k$ em $x = h$
Máximo (se $a < 0$)	$y = k$ em $x = h$

Quando $a > 0$, a parábola tem concavidade voltada para cima (formato ∪) e o vértice é o ponto mais baixo. Quando $a < 0$, a concavidade é voltada para baixo (formato ∩) e o vértice é o ponto mais alto. O valor absoluto $|a|$ controla a abertura da curva: quanto maior $|a|$, mais fechada a parábola; quanto menor $|a|$, mais aberta.

Dedução da fórmula de Bhaskara

O completamento do quadrado também fundamenta a fórmula de Bhaskara. Partindo de $ax^2 + bx + c = 0$, convertemos para a forma canônica e isolamos $x$:

$$a(x - h)^2 + k = 0 \implies (x - h)^2 = -\frac{k}{a}$$ $$x - h = \pm\sqrt{-\frac{k}{a}}$$

Substituindo $h = -\frac{b}{2a}$ e $k = c - \frac{b^2}{4a}$ e simplificando:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Essa é a fórmula de Bhaskara — o completamento do quadrado é exatamente a demonstração de que ela vale para qualquer equação do segundo grau.

Aplicações

• Encontrar o vértice da parábola sem precisar esboçar o gráfico.
• Resolver equações do segundo grau quando a fatoração direta não é evidente.
• Demonstrar a fórmula de Bhaskara a partir dos princípios básicos.
• Analisar parábolas em física e engenharia (lançamento de projéteis, óptica, antenas parabólicas).
• Cálculo integral — reconhecer a forma canônica facilita a integração de funções racionais por completamento do quadrado no denominador.

Perguntas frequentes (FAQ)

Para que serve completar o quadrado?

Completar o quadrado transforma ax² + bx + c na forma a(x − h)² + k, tornando o vértice (h, k) visível diretamente. Isso revela o valor mínimo (ou máximo) da parábola sem precisar derivar. Além disso, é por meio dessa técnica que se demonstra a fórmula de Bhaskara a partir do caso geral — é uma das manipulações algébricas mais importantes do ensino médio e base para vários tópicos de cálculo.

Como o completamento do quadrado se relaciona com a fórmula de Bhaskara?

A fórmula de Bhaskara é obtida justamente aplicando o completamento do quadrado à forma geral ax² + bx + c = 0. Dividindo por a, obtemos x² + (b/a)x + c/a = 0. Somando e subtraindo (b/(2a))² para criar um trinômio quadrado perfeito, chega-se a (x + b/(2a))² = (b² − 4ac)/(4a²). Extraindo a raiz quadrada dos dois lados e isolando x, obtemos x = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a) — a fórmula de Bhaskara.

O que as coordenadas do vértice (h, k) indicam?

O vértice é o ponto de extremo da parábola — aquele onde a curva muda de direção. Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e o vértice é o ponto de mínimo: o menor valor de ax² + bx + c é k, atingido em x = h. Quando a < 0, a concavidade é voltada para baixo e o vértice é o ponto de máximo. O eixo de simetria da parábola é a reta vertical x = h.

Como o sinal de a influencia a parábola?

Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima (formato ∪) e o vértice é um ponto de mínimo. Quando a < 0, a concavidade é voltada para baixo (formato ∩) e o vértice é um ponto de máximo. O valor absoluto |a| determina a abertura da parábola: quanto maior |a|, mais fechada (estreita) ela fica; quanto menor |a|, mais aberta (larga). Quando a = 0, a expressão se reduz a uma reta e o completamento do quadrado não se aplica.