Gerado em: 13 de junho de 2026 às 18:02

Distribuição de Poisson

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Matemática

Distribuição de Poisson

Calcula P(X=k), P(X≤k) e P(X≥k) para uma distribuição de Poisson com parâmetro de taxa λ e número de eventos k. Exibe as etapas de derivação e o diagrama de distribuição.

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Probabilidades

\begin{aligned} P(X=k) &= \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \\ &= \dfrac{e^{-3} \cdot 3^{ 2 }}{ 2!} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \mu &= \lambda \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \sigma^2 &= \lambda \\ &= ? \end{aligned}

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A distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta que descreve o número de eventos independentes que ocorrem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem a uma taxa média constante. É uma das distribuições mais utilizadas em estatística, com aplicações em teoria de filas, engenharia de confiabilidade, epidemiologia e matemática financeira.

Função de massa de probabilidade

Para um parâmetro de taxa λ > 0 e um inteiro não negativo k, a função de massa de probabilidade (FMP) é definida como:

P(X=k)=e−λ λkk!,k=0,1,2,…P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^k}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots

onde e é o número de Euler (≈ 2,71828) e k! é o fatorial de k.

A função de distribuição acumulada (FDA) é a soma da FMP de 0 a k:

P(X≤k)=∑i=0ke−λ λii!P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^i}{i!}

A probabilidade complementar (pelo menos k eventos) é obtida por:

P(X≥k)=1−P(X≤k−1)P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)

Média e variância

Uma propriedade característica da distribuição de Poisson é que a média e a variância são ambas iguais a λ:

μ=λ,σ2=λ\mu = \lambda, \qquad \sigma^2 = \lambda

O desvio padrão é, portanto, √λ, e o coeficiente de variação é 1/√λ, que diminui conforme λ aumenta.

Exemplo de cálculo

Uma central de atendimento recebe, em média, 4 chamadas por hora (λ = 4). Qual é a probabilidade de receber exatamente 6 chamadas em determinada hora?

P(X=6)=e−4⋅466!=e−4⋅4096720≈0,1042P(X = 6) = \frac{e^{-4} \cdot 4^6}{6!} = \frac{e^{-4} \cdot 4096}{720} \approx 0{,}1042

A probabilidade é de aproximadamente 10,4 %. A probabilidade de receber no máximo 6 chamadas:

P(X≤6)=∑i=06e−4⋅4ii!≈0,8893P(X \leq 6) = \sum_{i=0}^{6} \frac{e^{-4} \cdot 4^i}{i!} \approx 0{,}8893

E a probabilidade de receber pelo menos 6 chamadas:

P(X≥6)=1−P(X≤5)≈0,2149P(X \geq 6) = 1 - P(X \leq 5) \approx 0{,}2149

Derivação a partir da distribuição binomial

A distribuição de Poisson é obtida como caso limite da distribuição binomial Binomial(n, p) quando n → ∞ e p → 0, mantendo o produto np = λ constante:

(nk)pk(1−p)n−k  →n→∞,  np=λ  λkk!e−λ\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \;\xrightarrow{n\to\infty,\;np=\lambda}\; \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}

As etapas principais são:

  • O coeficiente binomial n!/(k!(n−k)!) converge para n^k/k!.
  • p^k = (λ/n)^k contribui com λ^k/n^k, que cancela n^k.
  • (1 − λ/n)^n converge para e^−λ quando n → ∞.

Por que a média e a variância são ambas iguais a λ

Na distribuição binomial, a média é np = λ e a variância é np(1−p). Quando p → 0, o fator (1−p) → 1, de modo que a variância também converge para np = λ. Essa igualdade — média = variância = λ — é a marca registrada da distribuição de Poisson. Se os dados observados apresentarem variância muito maior que a média (sobredispersão), um modelo binomial negativo pode ser mais adequado.

Cálculo numérico

Para valores grandes de k, calcular λ^k e k! separadamente pode causar estouro aritmético. A forma logarítmica da FMP resolve esse problema:

log⁡P(X=k)=−λ+klog⁡λ−log⁡(k!)\log P(X = k) = -\lambda + k \log \lambda - \log(k!)

O termo log k! é acumulado iterativamente como log 2 + log 3 + … + log k e, ao final, a exponencial é calculada. Esse procedimento mantém precisão numérica para valores de k da ordem de centenas.

Relação com outras distribuições

  • Distribuição binomial: a aproximação de Poisson é confiável quando n ≥ 20 e p ≤ 0,05 (ou n ≥ 100 e np ≤ 10).
  • Distribuição exponencial: o tempo de espera entre eventos sucessivos de um processo de Poisson segue uma distribuição exponencial com parâmetro λ; o tempo médio de espera é 1/λ.
  • Distribuição normal: para λ suficientemente grande (tipicamente λ ≥ 30), a quantidade (X − λ)/√λ tem distribuição aproximadamente normal padrão.
  • Distribuição geométrica: modela o número de tentativas até o primeiro sucesso em experimentos de Bernoulli independentes; seu análogo contínuo é a distribuição exponencial, que se conecta ao processo de Poisson pelo tempo de espera entre eventos.

Aplicações

  • Telecomunicações e redes: análise de taxas de chegada de pacotes em roteadores; modelos de fila M/M/1 assumem chegadas de Poisson.
  • Engenharia de confiabilidade: estimativa do número de falhas de componentes em um intervalo de tempo com taxa de falha constante.
  • Epidemiologia: modelagem do número de novos casos de doença por semana em uma região, sob taxa de incidência constante.
  • Atuária e gestão de riscos: estimativa da frequência de sinistros e cálculo de prêmios para eventos raros.
  • Física: contagem de fótons detectados por um sensor ou de desintegrações radioativas, pois cada núcleo decai de forma independente com probabilidade constante por unidade de tempo.

Perguntas frequentes (FAQ)

Quando se aplica a distribuição de Poisson?

A distribuição de Poisson é usada para contar o número de eventos independentes em um intervalo fixo de tempo ou espaço, desde que: os eventos ocorram de forma independente, a taxa média λ seja constante e dois eventos não possam ocorrer exatamente no mesmo instante. Exemplos clássicos incluem o número de chamadas recebidas por hora em uma central de atendimento, desintegrações radioativas por segundo e erros tipográficos por página.

O que representa λ (lambda)?

λ é o número médio de eventos esperados no intervalo escolhido. Se um servidor recebe, em média, 5 requisições por minuto, então λ = 5. O intervalo pode ser qualquer unidade fixa — segundos, metros, páginas — desde que λ seja ajustado proporcionalmente. Para meio minuto, λ = 2,5; para dois minutos, λ = 10.

Qual é a relação entre a distribuição de Poisson e a distribuição binomial?

A distribuição de Poisson é o caso limite da distribuição binomial quando o número de tentativas n → ∞ e a probabilidade de sucesso p → 0, mantendo o produto np = λ constante. Na prática, a aproximação de Poisson é precisa quando n ≥ 20 e p ≤ 0,05 (ou n ≥ 100 e np ≤ 10). Ela substitui a fórmula binomial, computacionalmente pesada, pela forma mais simples e^−λ λ^k / k!.

Por que a média e a variância são ambas iguais a λ?

Essa igualdade é uma característica definidora da distribuição de Poisson e decorre de sua derivação como limite da binomial: média = np = λ, e variância = np(1−p) → np = λ quando p → 0. Consequentemente, o desvio padrão é √λ e o coeficiente de variação é 1/√λ. Se os dados observados apresentarem variância muito superior à média (sobredispersão), um modelo binomial negativo pode ser mais adequado.

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