Última atualização: 2026-05-13

Duas relações fundamentais entre inteiros

Todo par de inteiros positivos compartilha dois números especiais: o maior inteiro que divide ambos sem deixar resto (máximo divisor comum, MDC) e o menor inteiro que é múltiplo de ambos (mínimo múltiplo comum, MMC). Juntos, eles descrevem como dois números se relacionam aritmeticamente.

Considere 12 e 8:

• Os divisores comuns de 12 e 8 são 1, 2 e 4. O maior é 4.
• Os múltiplos comuns de 12 e 8 são 24, 48, 72, …. O menor é 24.

Como o algoritmo de Euclides calcula o MDC

O método mais antigo — e ainda o mais rápido na prática — para encontrar o MDC é o algoritmo de Euclides, descrito em seus Elementos por volta de 300 a.C. A propriedade central é:

$\text{MDC}(a, b) = \text{MDC}(b,\ a \bmod b)$

onde $a \bmod b$ é o resto da divisão de $a$ por $b$. O processo se repete até o resto ser zero; o último valor diferente de zero é o MDC.

Exemplo: MDC(48, 18)

Passo	$a$	$b$	$a \bmod b$
1	48	18	12
2	18	12	6
3	12	6	0

O último resto diferente de zero é 6, logo MDC(48, 18) = 6.

O algoritmo é notavelmente eficiente: o número de passos nunca excede cinco vezes o número de dígitos do menor dos dois números.

A identidade MDC–MMC

Calculado o MDC, o MMC é obtido por uma única fórmula:

$\text{MMC}(a, b) = \frac{a \times b}{\text{MDC}(a, b)}$

Isso não é coincidência — é um teorema que decorre da fatoração única em primos. Representando cada número como produto de potências de primos, o MDC escolhe o expoente mínimo de cada primo e o MMC escolhe o máximo. O produto dos dois sempre reconstrói $a \times b$.

Exemplo: MMC(12, 8)

$\text{MDC}(12, 8) = 4, \quad \text{MMC}(12, 8) = \frac{12 \times 8}{4} = 24$

Verificação: $4 \times 24 = 96 = 12 \times 8$. ✓

Aplicações práticas

Simplificar frações

Para reduzir $\dfrac{a}{b}$ à forma irredutível, divide-se numerador e denominador por $\text{MDC}(a, b)$. Por exemplo, $\dfrac{12}{8}$ simplifica para $\dfrac{3}{2}$ porque $\text{MDC}(12, 8) = 4$.

Somar frações

Para calcular $\dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{8}$, precisa-se do mínimo denominador comum — que é $\text{MMC}(12, 8) = 24$:

$\frac{1}{12} + \frac{1}{8} = \frac{2}{24} + \frac{3}{24} = \frac{5}{24}$

Ciclos e períodos

Se dois eventos se repetem a cada $a$ dias e a cada $b$ dias, eles coincidem novamente após $\text{MMC}(a, b)$ dias. É por isso que o MMC aparece em relações de engrenagens, padrões de ladrilhos e problemas de calendário (quando dois ciclos celestes se alinham novamente?).

Criptografia

O algoritmo de Euclides é uma primitiva fundamental da criptografia RSA: o MDC é usado para verificar se o expoente de chave escolhido é coprimo com a função totiente de Euler do módulo.

Casos especiais

• MDC(a, 0) = a para qualquer inteiro positivo $a$: é o caso base do algoritmo de Euclides e decorre diretamente da definição.
• Números coprimos: MDC = 1 e MMC = a × b. Por exemplo, MDC(7, 13) = 1, MMC(7, 13) = 91.
• Números iguais: MDC(n, n) = n e MMC(n, n) = n.

Referência rápida

Propriedade	Fórmula
Algoritmo de Euclides	$\text{MDC}(a, b) = \text{MDC}(b,\ a \bmod b)$
MMC a partir do MDC	$\text{MMC}(a,b) = \dfrac{a \times b}{\text{MDC}(a,b)}$
Identidade	$\text{MDC}(a,b) \times \text{MMC}(a,b) = a \times b$
Simplificar fração	dividir numerador e denominador pelo MDC
Denominador comum	usar o MMC dos dois denominadores

Perguntas frequentes (FAQ)

O que é o máximo divisor comum?

O máximo divisor comum (MDC) de dois inteiros é o maior inteiro positivo que divide ambos sem deixar resto. Por exemplo, MDC(12, 8) = 4, pois 4 é o maior número que divide 12 e 8 de forma exata.

O que é o mínimo múltiplo comum?

O mínimo múltiplo comum (MMC) de dois inteiros é o menor inteiro positivo divisível pelos dois. Por exemplo, MMC(12, 8) = 24, pois 24 é o menor número que é múltiplo tanto de 12 quanto de 8.

Qual é a relação entre MDC e MMC?

Para quaisquer dois inteiros positivos a e b, vale: MDC(a, b) × MMC(a, b) = a × b. Isso significa que é possível calcular um a partir do outro: MMC = a × b ÷ MDC. É por causa dessa relação que as duas medidas costumam ser calculadas juntas.