Última atualização: 2026-05-13

Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras afirma que, em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos dois catetos:

$a^2 + b^2 = c^2$

É um dos resultados mais antigos da matemática. Tábuas de argila babilônicas de cerca de 1800 a.C. já registram ternas pitagóricas — conjuntos de inteiros que satisfazem a equação — séculos antes do nascimento de Pitágoras. O que Pitágoras e seus seguidores contribuíram foi uma demonstração geral: a relação vale para todo triângulo retângulo, não apenas para exemplos inteiros específicos.

Como usar esta calculadora

Informe quaisquer dois lados de um triângulo retângulo e a calculadora calcula o terceiro. Os três campos são editáveis: é possível fixar a hipotenusa e um cateto para encontrar o outro, ou fornecer os dois catetos para obter a hipotenusa.

• a e b conhecidos → encontrar c (hipotenusa): $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
• b e c conhecidos → encontrar a: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$
• a e c conhecidos → encontrar b: $b = \sqrt{c^2 - a^2}$

Todas as unidades de comprimento são compatíveis, incluindo a mistura de unidades métricas e imperiais.

Por que a fórmula funciona

A demonstração mais intuitiva traça três quadrados sobre os lados do triângulo retângulo. A área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos — é possível verificar isso reorganizando as peças para cobrir exatamente o quadrado maior. Essa "demonstração por dissecção" não requer álgebra, apenas contagem de áreas, razão pela qual foi redescoberta de forma independente em diversas culturas ao longo da história.

A formulação algébrica decorre da fórmula da distância na geometria analítica: ao posicionar o ângulo reto na origem e os catetos ao longo dos eixos coordenados, a hipotenusa — o segmento de $(a, 0)$ a $(0, b)$ — tem comprimento $\sqrt{a^2 + b^2}$ pela definição de distância euclidiana.

Ternas pitagóricas

Ternas pitagóricas são soluções inteiras de $a^2 + b^2 = c^2$. Algumas das mais conhecidas:

a	b	c
3	4	5
5	12	13
8	15	17
7	24	25

Qualquer múltiplo inteiro positivo de uma terna é também uma terna. Assim, (6, 8, 10), (9, 12, 15) e (15, 20, 25) são todas variações da família (3, 4, 5).

A fórmula geral para gerar todas as ternas primitivas (sem fator comum) usa dois inteiros $m > n > 0$:

$a = m^2 - n^2, \quad b = 2mn, \quad c = m^2 + n^2$

Para $m = 2, n = 1$: $a = 3, b = 4, c = 5$ — a terna clássica.

Aplicações na vida real

Construção e marcenaria. A regra do 3-4-5 é a ferramenta mais confiável para verificar ângulos retos sem um transferidor. Meça 3 unidades ao longo de uma parede e 4 unidades ao longo da parede adjacente; se a diagonal medir exatamente 5 unidades, o canto está em esquadro.

Navegação. A distância em linha reta entre dois pontos em um mapa plano é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são as diferenças norte-sul e leste-oeste. Receptores GPS e softwares de mapas realizam esse cálculo constantemente.

Física e engenharia. Os módulos de vetores bidimensionais são calculados pelo Teorema de Pitágoras. A velocidade de um objeto com componente horizontal $v_x$ e vertical $v_y$ é $\sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.

Computação gráfica. A distância entre pixels, a detecção de colisões e os cálculos de renderização dependem do teorema. A extensão tridimensional — $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ — é uma generalização direta.

Somente para triângulos retângulos

O Teorema de Pitágoras se aplica apenas quando um dos ângulos é exatamente 90°. Para os demais triângulos, a ferramenta correta é a lei dos cossenos:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$

onde $C$ é o ângulo oposto ao lado $c$. Quando $C = 90°$, temos $\cos(90°) = 0$ e a lei dos cossenos se reduz exatamente ao Teorema de Pitágoras — confirmando que ele é um caso especial de um resultado mais geral.

Perguntas frequentes (FAQ)

O que são ternas pitagóricas?

Ternas pitagóricas são conjuntos de três inteiros positivos que satisfazem a² + b² = c². A mais famosa é (3, 4, 5): 9 + 16 = 25. Outras ternas comuns incluem (5, 12, 13), (8, 15, 17) e (7, 24, 25). Qualquer múltiplo inteiro de uma terna também é uma terna — por exemplo, (6, 8, 10).

Como o Teorema de Pitágoras é usado no dia a dia?

O teorema é aplicado na construção civil (para verificar se os cantos formam ângulos retos), na navegação (cálculo de distâncias em linha reta), na física (magnitude de vetores) e na computação gráfica (cálculo de distâncias 2D e 3D). Carpinteiros usam a regra do 3-4-5 para marcar ângulos retos.

O Teorema de Pitágoras vale para qualquer triângulo?

Não — ele se aplica apenas a triângulos retângulos (triângulos com um ângulo de 90°). Para outros triângulos, utiliza-se a lei dos cossenos: c² = a² + b² − 2ab cos(C), onde C é o ângulo oposto ao lado c.