Calculadora de Discriminante de Equação do 2.º Grau
Calcule o discriminante D = b²−4ac. Informe a, b e c para saber o tipo de raízes: duas reais distintas, raiz dupla ou duas complexas conjugadas.
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O que é o discriminante?
O discriminante de uma equação do 2.º grau ax² + bx + c = 0 é a expressão D = b² − 4ac. Ele diz quantas raízes reais a equação tem e qual é o seu tipo — sem precisar aplicar a fórmula de Bhaskara por completo. Apenas o sinal de D já basta para classificar as raízes. É um conteúdo central do Ensino Médio e aparece em vestibulares e no ENEM com frequência.
Como calcular o discriminante
- Elevar ao quadrado o coeficiente do meio: b²
- Multiplicar os coeficientes extremos por quatro: 4 × a × c
- Subtrair: D = b² − 4ac
Não é necessário calcular raiz quadrada nem fração nessa etapa. O sinal do resultado classifica as raízes diretamente.
Sinal de D e tipo de raízes
| Discriminante | Tipo de raízes | Posição da parábola |
|---|---|---|
| D > 0 | Duas raízes reais distintas | Corta o eixo x em dois pontos |
| D = 0 | Raiz real dupla | Toca o eixo x no vértice |
| D < 0 | Duas raízes complexas conjugadas | Não intercepta o eixo x |
Quando D = 0, o vértice da parábola fica exatamente sobre o eixo x e a única raiz real é x = −b / (2a).
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — D > 0 (duas raízes reais distintas)
Equação: x² − 5x + 6 = 0 (a = 1, b = −5, c = 6)
Cálculo: b² = 25, 4ac = 24, D = 25 − 24 = 1
Como D = 1 > 0, existem duas raízes reais distintas. Aplicando a fórmula de Bhaskara, obtemos x₁ = 2 e x₂ = 3, que são os pontos onde a parábola y = x² − 5x + 6 cruza o eixo x.
Exemplo 2 — D = 0 (raiz dupla)
Equação: x² − 6x + 9 = 0 (a = 1, b = −6, c = 9)
Cálculo: b² = 36, 4ac = 36, D = 36 − 36 = 0
A raiz dupla é x = −(−6) / (2 × 1) = 3. A equação se fatora como (x − 3)² = 0 e a parábola toca o eixo x apenas no vértice, em x = 3.
Exemplo 3 — D < 0 (raízes complexas)
Equação: x² + x + 1 = 0 (a = 1, b = 1, c = 1)
Cálculo: b² = 1, 4ac = 4, D = 1 − 4 = −3
Como D = −3 < 0, não há raízes reais. As duas raízes são os complexos conjugados . A calculadora exibe , que é o módulo da parte imaginária.
Relação com a fórmula de Bhaskara
A fórmula de Bhaskara é:
O radicando sob a raiz quadrada é exatamente o discriminante D. Quando D > 0, é real e positivo, e o ± produz duas raízes distintas. Quando D = 0, a raiz se anula e resta uma única raiz. Quando D < 0, é imaginário e a fórmula gera dois números complexos conjugados. Calcular D primeiro economiza tempo: você já sabe em qual dos três casos está antes de concluir a conta.
Caso especial: a = 0
Se a = 0, a equação ax² + bx + c = 0 passa a ser a equação do 1.º grau bx + c = 0. A fórmula D = b² − 4ac produz um valor (b²), mas esse número não tem o significado do discriminante de uma equação do 2.º grau. Esta calculadora exige a ≠ 0 e exibe uma mensagem de erro quando a = 0. A solução da equação linear é x = −c / b (para b ≠ 0).
Perguntas frequentes (FAQ)
Para que serve o discriminante na equação do 2.º grau?
O discriminante D = b² − 4ac indica quantas raízes reais a equação ax² + bx + c = 0 tem, sem precisar calculá-las. Se D > 0, a parábola y = ax² + bx + c corta o eixo x em dois pontos distintos. Se D = 0, ela toca o eixo apenas no vértice. Se D < 0, não há interseção com o eixo e as raízes são complexas. O discriminante é exatamente o radicando da fórmula de Bhaskara, por isso seu sinal determina o tipo de raízes.
O que significa o discriminante negativo?
Quando D = b² − 4ac < 0, a raiz √D é imaginária e a equação não tem raízes reais. As duas raízes são números complexos conjugados do tipo α ± βi, onde α = −b / (2a) e β = √|D| / (2a). Para equações com coeficientes reais, raízes complexas sempre aparecem em pares conjugados. Geometricamente, a parábola fica inteiramente acima ou abaixo do eixo x, sem tocá-lo.
Qual a relação entre o discriminante e a fórmula de Bhaskara?
A fórmula de Bhaskara x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) tem o discriminante D exatamente sob o radical. Quando D > 0, √D é real e positivo, e o ± gera duas raízes distintas. Quando D = 0, a raiz quadrada é zero e sobra uma única raiz: x = −b / (2a). Quando D < 0, √D é imaginário e a fórmula produz dois complexos conjugados. O discriminante diz de antemão em qual dos três casos você está.
O que acontece se a for zero?
Se a = 0, a equação ax² + bx + c = 0 vira a equação de 1.º grau bx + c = 0. A fórmula D = b² − 4ac ainda gera um valor (b²), mas esse número não tem o significado do discriminante quadrático. Esta calculadora exige a ≠ 0 e exibe um erro quando a = 0. A solução da equação linear é simplesmente x = −c / b (desde que b ≠ 0).
Próximas sugestões
Resolução de equação do segundo grau
Resolva ax² + bx + c = 0. Insira os três coeficientes para obter o discriminante e as duas raízes — reais ou complexas.