Calcule permutações P(n, r): o número de formas de escolher r elementos de n e organizá-los em ordem. Até n = 20.
Entradas
Arranjos (nPr)
P(n,\, r) = \dfrac{n!}{(n - r)!}
nrP(n,r)
Resultados
Número de arranjos ordenados de r elementos escolhidos entre n: n! / (n − r)!.
P(n, j)0
Permutação
Uma permutação conta o número de formas de escolher elementos de um conjunto de elementos distintos e organizá-los em uma ordem específica. Como a ordem importa, escolher {A, B} é diferente de escolher {B, A}.
P(n,r)=(n−r)!n!=n×(n−1)×⋯×(n−r+1)
Exemplo resolvido
De quantas formas podem ser formados códigos de 3 letras com as letras {A, B, C, D, E} sem repetição?
P(5,3)=(5−3)!5!=2120=60
Intuitivamente: 5 opções para a primeira posição, 4 para a segunda (uma letra já foi usada), 3 para a terceira → .
Permutação versus combinação
A pergunta essencial é: a ordem importa?
Situação
Fórmula
Motivo
Medalhas (ouro, prata, bronze) entre 10 atletas
$P(10, 3)$
A medalha depende da colocação
Comitê de 3 pessoas entre 10 candidatos
$C(10, 3)$
Só importa quem foi escolhido
PIN de 4 dígitos sem repetição
$P(10, 4)$
A sequência determina o PIN
6 números de loteria entre 1–60
$C(60, 6)$
Só quais números, não a ordem
Para os mesmos e : . As permutações são sempre maiores ou iguais às combinações. Para calcular diretamente, use a Calculadora de combinações — C(n, r).
Casos especiais
$r = 0$: $P(n, 0) = 1$. Há exatamente uma forma de organizar zero elementos.
: — todos os elementos são organizados.
: Não definido; a calculadora exibe um erro.
Aplicações comuns
Podium em competições: atribuir 1.°, 2.° e 3.° lugares
Senhas e PINs: sequências onde cada posição é única
Escalonamento de tarefas: planejar atividades em sequência
Disposição em assentos numerados: alocar pessoas em cadeiras específicas
Notas práticas
Resultados grandes. $P(20, 10)$ ultrapassa 670 bilhões. Mesmo dentro do limite , os resultados podem ser muito grandes. Esta calculadora retorna valores inteiros exatos.
Com repetição. A fórmula acima assume seleção sem reposição. Se a repetição for permitida (por exemplo, um PIN onde um dígito pode aparecer mais de uma vez), o total é .
Perguntas frequentes (FAQ)
O que é uma permutação?
Uma permutação P(n, r) é o número de formas de selecionar r elementos de um conjunto de n elementos distintos e organizá-los em uma ordem específica. Como a ordem importa, escolher {A, B} é diferente de escolher {B, A}. A fórmula é P(n, r) = n! / (n − r)!.
Quando usar permutação em vez de combinação?
Use permutação quando a ordem importa: posições em uma corrida, distribuição de prêmios, sequências de senhas. Use combinação quando só importa o grupo selecionado, não a sequência: escolha de membros de equipe, números de loteria. Para os mesmos n e r: P(n, r) = C(n, r) × r!, então permutações são sempre maiores ou iguais às combinações.
Como se calcula P(n, r)?
P(n, r) = n! / (n − r)!. Equivalentemente, é o produto decrescente n × (n−1) × … × (n−r+1) — uma cadeia de r fatores começando em n. Exemplo: P(5, 3) = 5 × 4 × 3 = 60.
