最後更新：2026-07-01

白努利方程式

白努利方程式把流動流體的壓力、速度與高度連結起來。它表達了沿著流線的能量守恆：當流體加速或上升時，其壓力必須下降，以維持單位體積的總能量不變。這個關係是文氏效應、皮托管測速以及日常許多水力現象的基礎。

方程式

對於沿著單一流線的穩定、不可壓縮且無黏性的流動，三項之和為定值：

$P + \tfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{常數}$

寫在兩點之間，即點 1（上游）與點 2（下游）：

$P_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g h_2$

每一項都是壓力（單位體積的能量）：$P$ 為靜壓，$\tfrac{1}{2}\rho v^2$ 為動壓，$\rho g h$ 為重力（高度）項。對下游壓力求解，即得本計算器所用的形式：

$P_2 = P_1 + \tfrac{1}{2}\rho\left(v_1^2 - v_2^2\right) + \rho g\left(h_1 - h_2\right)$

符號表

物理量	符號	說明
點 1 的壓力	$P_1$	上游靜壓
點 2 的壓力	$P_2$	輸出，下游靜壓
點 1 的速度	$v_1$	上游流速
點 2 的速度	$v_2$	下游流速
點 1 的高度	$h_1$	基準面以上的高度
點 2 的高度	$h_2$	基準面以上的高度
流體密度	$\rho$	假設為定值
重力加速度	$g$	9.80665 m/s²

範例計算

文氏效應

當管路收縮時，質量守恆（連續性）要求 $A_1 v_1 = A_2 v_2$，因此流體必須在狹窄喉部加速。此時白努利方程式迫使該處的靜壓下降。這種在收窄處的壓力下降即為文氏效應。它被應用於文氏流量計（由量測到的壓力降推算流量）、化油器（將燃料吸入低壓喉部）以及抽吸器。

升力的直觀理解

在機翼彎曲上表面流動較快的空氣，其靜壓低於下方較慢的空氣，這個差值對升力有所貢獻。這是一種有用的直觀理解，但只是全貌的一部分：完整描述升力還需要空氣向下的偏轉以及機翼周圍的環流。白努利方程式解釋的是壓力差，而非力的完整來源。

假設與限制

白努利方程式只有在穩定、不可壓縮且無黏性的流動，沿著單一流線、且兩點之間沒有泵浦、渦輪或熱交換時才是精確的。實際流動會因摩擦與亂流損失能量；對於長管路，這些損失以水頭損失項來計入。對於約馬赫 0.3 以上的氣體，不可壓縮假設不再成立，需改用可壓縮關係式。然而在其假設範圍內，這個方程式仍是極為準確且廣泛使用的工具。

常見問題（FAQ）

什麼是白努利方程式？

白努利方程式指出，在穩定、不可壓縮、無黏性的流動中，沿著一條流線，靜壓、動壓與重力壓的總和保持不變：P + ½ρv² + ρgh = 常數。寫成兩點之間即為 P₁ + ½ρv₁² + ρgh₁ = P₂ + ½ρv₂² + ρgh₂。它是單位體積能量守恆的表達式：若流體加速或上升，其壓力就必須隨之下降以維持平衡。

白努利方程式有哪些假設？

此方程式假設為穩定流（各點狀態不隨時間改變）、不可壓縮流（密度為定值，對液體以及約馬赫 0.3 以下的氣體是良好近似）以及無黏性流（無摩擦或亂流損失）。兩點必須位於同一條流線上，且其間沒有泵浦、渦輪或熱交換。當這些條件不成立時——例如有摩擦的長管路——就必須加入水頭損失項。

白努利方程式如何解釋文氏效應？

當流體通過收縮處時，連續方程式 A₁v₁ = A₂v₂ 迫使它在狹窄段加速。由於單位體積的總能量固定，白努利方程式因而要求該處的靜壓下降。這種在收窄喉部處的壓力下降即為文氏效應，被應用於化油器、流量計與抽吸器。

白努利方程式能解釋飛機升力嗎？

它能解釋其中一部分。在機翼彎曲的上表面流動較快的空氣，其靜壓低於下方較慢的空氣，這個壓力差產生向上的力。然而完整的升力說明還需要空氣向下的偏轉（牛頓第三定律）以及機翼周圍的環流，因此單憑白努利方程式只是簡化的解釋。