最後更新：2026-07-01

理想氣體所做的功

當氣體膨脹時，會推擠周圍的物體——活塞、大氣、氣球壁——而這種推力沿著一段距離作用，就是力學功。功的大小不僅取決於起始與最終體積，還取決於氣體在兩者之間所走的路徑。本計算工具針對兩種最常見的準靜態路徑，求理想氣體所做的功：溫度固定的等溫過程，以及壓力固定的等壓過程。本文以預設的等溫模式說明；等壓模式使用下方所述的壓力固定公式。

公式的由來

對任何緩慢的體積變化，氣體所做的功等於它在壓力–體積（PV）圖上過程曲線下方的面積：

$$W = \int_{V_1}^{V_2} P\, dV$$

這條曲線的形狀——因而面積——取決於保持哪個量固定。

等溫過程。 溫度固定時，理想氣體遵守 $PV = nRT$，因此體積增大時壓力下降（$P = nRT/V$）。代入後積分可得

$$W = \int_{V_1}^{V_2} \frac{nRT}{V}\, dV = nRT \ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$$

自然對數之所以出現，是因為它就是 $1/V$ 的積分。

等壓過程。 壓力固定時，曲線為一條水平線，其下方面積是一個簡單的矩形：

$$W = P\left(V_2 - V_1\right)$$

計算式

量	符號	意義
等溫過程的功	$W$	$W = nRT \ln\!\left(\dfrac{V_2}{V_1}\right)$
等壓過程的功	$W$	$W = P\left(V_2 - V_1\right)$
氣體的量	$n$	莫耳數
溫度	$T$	絕對溫度（克耳文）
壓力	$P$	固定壓力（等壓）
初始 / 最終體積	$V_1,\ V_2$	變化前後的體積

氣體常數為 $R = 8.314463\ \text{J/(mol·K)}$。溫度以克耳文代入比值，體積以立方公尺、壓力以帕計算時，功以焦耳表示。

計算範例

1 莫耳的理想氣體在 $T = 300\ \text{K}$ 下，由 $V_1 = 1\ \text{L}$ 等溫膨脹到 $V_2 = 2\ \text{L}$：

$$\begin{aligned} W &= nRT \ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right) \\ &= 1 \times 8.314463 \times 300 \times \ln\!\left(\frac{2}{1}\right) \\ &= 2494.34 \times 0.693147 \\ &= 1728.94\ \text{J} \end{aligned}$$

氣體對周圍做了約 $1729\ \text{J}$ 的功。作為對照，若讓同樣的氣體在固定的 $101.325\ \text{kPa}$ 下膨脹相同的 $1\ \text{L}$（由 1 L 到 2 L），等壓過程的功為 $P\,\Delta V = 101{,}325 \times 0.001 = 101.3\ \text{J}$——小得多，因為等壓路徑在該膨脹過程中的平均壓力較低。

正負號約定

此結果為氣體所做的功。膨脹（$V_2 > V_1$）為正值，因為氣體把能量傳向外界；壓縮為負值。有些教科書改為給出對氣體所做的功，正負號相反——第一定律此時寫作 $\Delta U = Q - W$（氣體做功）或 $\Delta U = Q + W$（對氣體做功）。因此值得確認資料採用哪一種約定。

適用範圍

兩個公式都假設理想氣體經歷可逆的準靜態過程——變化足夠緩慢，使氣體始終接近平衡，可用單一的壓力與溫度描述。真實氣體在高壓或接近凝結時會偏離 $PV = nRT$，而急劇或紊亂的變化並非準靜態。其他路徑，例如絕熱過程（無熱量交換）或等容過程（體積固定，氣體不做任何功），遵循不同的式子，不在這兩種模式的範圍內。

常見問題（FAQ）

氣體所做的功是什麼

氣體膨脹時會推擠周圍的物體，這種推力沿著一段距離作用就是力學功。體積變化時，功等於壓力–體積（PV）圖上過程曲線下方的面積：W = ∫P dV。膨脹會將能量由氣體傳向外界，因此氣體所做的功為正；壓縮則需要對氣體做功，因此為負。

等溫過程與等壓過程有何不同

等溫過程維持溫度固定，氣體沿 PV = nRT 膨脹時壓力下降，功為 W = nRT·ln(V₂/V₁)。等壓過程維持壓力固定，PV 圖為一條水平線，功為矩形 W = P(V₂ − V₁)。在相同的初始狀態與相同的體積變化下，兩條路徑通常給出不同的功，因為兩條曲線下方的面積不同。

功是正值還是負值

本計算工具顯示氣體所做的功。膨脹（V₂ 大於 V₁）為正值，因為氣體將能量傳向外界；壓縮為負值。有些教科書改為顯示對氣體所做的功，正負號相反。熱力學第一定律在此處採用的約定下寫作 ΔU = Q − W。

等溫公式為何出現自然對數

等溫膨脹時壓力並非固定，由 PV = nRT 可得 P = nRT/V。以此式將 P dV 由 V₁ 積分到 V₂，會得到 nRT·∫(1/V) dV = nRT·ln(V₂/V₁)。自然對數正是 1/V 的積分，只要壓力與體積成反比變化就會出現。