最後更新：2026-07-01

斯托克斯定律

斯托克斯定律描述黏滯流體對其中緩慢運動的小球所施加的阻力。與高速行駛的汽車或飛機所受的阻力不同，這個力與速度成正比，因為主導的是流體的黏性而非慣性。此定律是沉降分析、氣膠科學、以落球法測量黏度，以及雨滴與沉降顆粒物理的基礎。

公式

在無界不可壓縮牛頓流體中，小型剛性球緩慢運動時，黏滯阻力為：

$F = 6\pi\, \mu\, r\, v$

其中 $F$ 為阻力，$\mu$ 為流體的動力黏度，$r$ 為球的半徑，$v$ 為相對於流體的速度。此力方向與運動相反。由於對 $v$ 呈線性，速度加倍時阻力也加倍，這是低速、黏性主導區間的特徵。

符號一覽

範例

為何阻力與速度成正比

在日常尺度下，運動的物體必須推開流體，其慣性代價隨速度陡增，因此阻力與速度平方成正比。對於黏滯流體中又小又慢的球，情況則不同：慣性可以忽略，阻力幾乎全來自球體周圍流體層的黏滯剪切。結果是力僅隨速度線性增加。區分這兩種區間的準則是雷諾數，它比較慣性力與黏滯力。當此數遠小於 1 時，斯托克斯定律成立。

沉降與終端速度

斯托克斯定律最常見的用途，是求顆粒在流體中因重力沉降的速度。顆粒下落時，阻力隨速度增大，直到與淨向下的力（重量減去浮力）平衡。此時顆粒以固定的終端（沉降）速度運動：

$v_t = \frac{2\, r^2\, (\rho_p - \rho_f)\, g}{9\, \mu}$

其中 $\rho_p$ 與 $\rho_f$ 分別為顆粒與流體的密度，$g$ 為重力加速度。此沉降速度關係式用於在沉降槽中分級顆粒、解讀離心機數據，以及估算粉塵或液滴在空氣中懸浮的時間。

適用範圍與限制

斯托克斯定律假設潛變流，即雷諾數遠小於 1。球體須為小型、剛性且表面光滑，流體須為不可壓縮的牛頓流體，流動須為穩態層流。此外還假設球體遠離任何器壁與其他顆粒，使周圍流體實質上無界。

當這些條件不成立時（顆粒較大、速度較快，或懸浮液較濃），定律的精度會下降。當雷諾數接近 1 時，慣性效應使實際阻力大於斯托克斯定律的預測，此時需採用奧森近似或經驗阻力曲線等修正。在高雷諾數下，流動由慣性主導，平方阻力公式 $F = \tfrac{1}{2}\rho v^2 C_d A$ 則完全取而代之。

相關工具

若要確認潛變流假設是否成立，可計算球體的雷諾數計算機並確認其小於 1。若要求阻力與重力平衡時顆粒的固定沉降速度，可使用終端速度計算機。至於較高速度下由慣性主導的流動，則對應一般的阻力計算機。