最後更新：2026-07-01

哈根-帕松流動

哈根-帕松方程式描述黏性流體如何流經狹窄的管路。它把體積流量與推動流體的壓力、流體黏度造成的流動阻力以及管路幾何連結起來，是水力學、化學工程、微流體學以及血液循環生理學的核心關係式。

方程式

對於不可壓縮牛頓流體在截面固定的長直圓管中作穩態層流時，體積流量為：

$Q = \frac{\pi\, r^4\, \Delta P}{8\, \mu\, L}$

其中 $Q$ 為體積流量，$r$ 為內半徑，$\Delta P$ 為管兩端的壓力差，$\mu$ 為動力黏度，$L$ 為管長。流量隨驅動壓力與半徑的四次方增大，並隨黏度或長度增加而減小。

符號表

範例

對半徑四次方的依賴

方程式最顯著的特徵是流量與 $r^4$ 成正比，因此半徑是管路最重要的尺寸：

• 半徑加倍會使流量增為 $2^4 = 16$ 倍。
• 減半則降為原值的 $1/16$。
• 半徑縮小 10 %，流量約下降 34 %。

這種敏感性說明了動脈稍微變窄就會對血流造成很大影響，管路略為堵塞就會損失大部分輸送量，以及微流道為何需要精密控制尺寸。它同時意味著半徑量測主導了任何計算的不確定度：微小的量測誤差會被放大到四次方。

適用範圍與限制

方程式假設流動為層流，也就是流體以有序的層彼此滑動。流動是否維持層流由雷諾數決定；在管內流動中，向紊流的轉變約始於雷諾數 2300 附近。超過此值後，混亂的混合會提高阻力，壓力與流量的線性關係便不再成立，因此改用達西-韋斯巴赫方程式等經驗模型。

其餘假設為牛頓流體（黏度固定）、不可壓縮、截面為固定圓形、管壁無滑移條件，以及速度剖面已充分發展。最後一項要求管長遠大於管徑，使入口附近的入口效應可忽略。血液尤其屬於非牛頓流體，因此此方程式對生理血流僅能提供一階近似。

相關工具

若要確認層流假設是否成立，可計算此流動的雷諾數。若需在泊、厘泊與 Pa·s 之間換算黏度，黏度換算相當方便。此外，若要在忽略黏性的理想流動中連結壓力、速度與高度，白努利方程式是相對應的關係式。