最後更新：2026-07-01

完全非彈性碰撞

當兩物體碰撞後黏在一起、作為單一物體運動時，這次碰撞便稱為完全非彈性碰撞。由於兩者合而為一，它們必定共有一個末速度。這是與彈性碰撞完全相反的極端——彈性碰撞中物體彈開並保留全部動能。

兩個原理決定了會發生什麼：

• 動量始終守恆。 在短暫接觸的瞬間沒有外部水平力作用，因此碰撞後瞬間的總動量等於碰撞前瞬間的總動量。
• 動能不守恆。 其中一部分用於使物體形變，並以熱、聲與永久損傷的形式釋放。完全非彈性碰撞會損失動量守恆所允許的最大比例的動能。

輸入兩個質量與初速度後，本計算器會回傳共同末速度、碰撞前後的動能，以及損失的能量。

末速度公式

寫出碰撞前後的總動量並令其相等。碰撞前兩物體攜帶 m₁u₁ 與 m₂u₂；碰撞後合併質量（m₁ + m₂）以單一速度 v 運動：

$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2)\,v$

對 v 求解，即得本計算器所用的結果：

$v = \frac{m_1 u_1 + m_2 u_2}{m_1 + m_2}$

速度帶有正負號。將一個方向取為正，反方向的運動即為負。因此正面相向而來的兩物體符號相反，其動量會部分抵消。

碰撞前後的能量

碰撞前的動能是各物體 ½mv² 之和：

$KE_i = \tfrac{1}{2} m_1 u_1^2 + \tfrac{1}{2} m_2 u_2^2$

碰撞後，單一質量以共同速度運動：

$KE_f = \tfrac{1}{2}(m_1 + m_2)\,v^2$

損失的能量就是兩者之差：

$\Delta KE = KE_i - KE_f$

ΔKE 永遠不會是負值：合併物體攜帶的動能絕不可能超過兩物體帶入碰撞的動能。

範例計算

一個以 5 m/s 運動的 2 kg 物體撞上靜止的 3 kg 物體，兩者黏在一起。

末速度

$v = \frac{2 \times 5 + 3 \times 0}{2 + 3} = \frac{10}{5} = 2\ \text{m/s}$

碰撞前動能

KE_i = ½ × 2 × 5² + ½ × 3 × 0² = 25 J

碰撞後動能

KE_f = ½ × (2 + 3) × 2² = ½ × 5 × 4 = 10 J

損失的動能

ΔKE = 25 − 10 = 15 J

因此原始動能的 60% 轉化為熱、聲與形變，而全部動量（10 kg·m/s）則被保留。

嵌入木塊的子彈

經典的彈道擺裝置即為完全非彈性。一顆 10 g（0.01 kg）的子彈以 400 m/s 飛行，嵌入靜止的 2 kg 木塊：

$v = \frac{0.01 \times 400 + 2 \times 0}{0.01 + 2} = \frac{4}{2.01} \approx 1.99\ \text{m/s}$

碰撞前的動能為 ½ × 0.01 × 400² = 800 J，碰撞後卻僅有 ½ × 2.01 × 1.99² ≈ 3.98 J。這 800 J 幾乎全部損失，大部分化為子彈與木塊中的熱。正是這巨大的能量損失搭配守恆的動量，使彈道擺得以從木塊擺動的幅度測出子彈的速度。

非彈性碰撞與彈性碰撞比較

性質	完全非彈性	完全彈性
碰撞後的物體	黏在一起，成一物體	各自彈開
動量	守恆	守恆
動能	損失最大	完全守恆
末速度	一個共同速度	兩個不同速度
日常例子	撞凹而合為一體的汽車	撞球

真實碰撞通常介於這兩種理想之間。汽車特意設計潰縮區，正是為了讓碰撞更接近非彈性碰撞，將動能吸收於車身結構，而非傳遞給乘員。

常見問題（FAQ）

什麼是完全非彈性碰撞？

在完全非彈性碰撞中，兩物體碰撞後黏在一起並作為單一物體運動，因此共有一個末速度。動量仍守恆，但會以熱、聲與形變的形式損失盡可能多的動能。一團黏土撞牆、兩節火車車廂連結、子彈嵌入木塊都是常見的例子。

如何求末速度？

運用動量守恆。碰撞前總動量為 m₁u₁ + m₂u₂；碰撞後合併質量（m₁ + m₂）以單一速度 v 運動。令兩者相等可得 v = (m₁u₁ + m₂u₂)/(m₁ + m₂)。例如 2 kg 物體以 5 m/s 撞上靜止的 3 kg 物體，v = (2 × 5 + 3 × 0)/(2 + 3) = 10/5 = 2 m/s。

為什麼會損失動能？

當物體形變並黏在一起時，所做的功用於彎曲與加熱材料，而非維持運動。這些功從系統中帶走動能；而動量因為與方向有關、無法憑空消失，故維持不變。損失的能量以熱、聲與永久形變的形式重新出現。

守恆的是動量還是動能？

無論彈性或非彈性，動量在任何碰撞中都守恆，因為短暫的撞擊過程中沒有外部水平力作用。動能只在完全彈性碰撞中守恆。完全非彈性碰撞位於另一端：它在守恆動量的同時，損失動量守恆所允許的最大比例的動能。