最後更新：2026-07-13

牛頓冷卻定律

牛頓冷卻定律描述溫暖的物體如何把熱散給較冷的周圍——或冷的物體如何從較熱的周圍吸熱。它的核心觀念很簡單：冷卻的快慢取決於物體溫度與周圍溫度相差多少。很燙的一杯咖啡冷得快；同一杯咖啡一旦只比室溫高一點，就冷得慢得多。寫成速率方程式，

$$\frac{dT}{dt} = -k\,(T - T_{env})$$

溫差 $(T - T_{env})$ 是整個過程的動力，$k$ 是冷卻常數。解這個方程式，便得到本計算機所用的指數曲線：

$$T(t) = T_{env} + (T_0 - T_{env})\,e^{-k t}$$

輸入初始溫度 $T_0$、環境溫度 $T_{env}$ 與冷卻常數 $k$，計算機即可回傳選定時間後的溫度、達到目標溫度所需的時間，或由單次量測擬合出的 $k$ 本身。

模型的運作方式

真正衰減的並非溫度本身，而是溫差 $\Delta T = T - T_{env}$。把它代入速率方程式，得到 $d(\Delta T)/dt = -k\,\Delta T$，與放射性衰變或放電中的電容器同形。因此溫差在每一段相等的時間裡，都以固定比例縮小：

$$\Delta T(t) = \Delta T_0\,e^{-k t}, \qquad \Delta T_0 = T_0 - T_{env}$$

把環境溫度加回去就得到 $T(t)$。由於衰減的只有溫差，物體總是趨近 $T_{env}$ 而不會越過：咖啡停在略高於室溫處，冷飲則升溫到室溫為止，不再更高。

兩個時間尺度可概括這條曲線。時間常數 $\tau = 1/k$ 是溫差降到初始值約 37 %（$1/e$）所需的時間；約 $5\tau$ 之後，物體與環境相差不到 1 %，實務上可視為已穩定。半衰期 $t_{1/2} = \ln 2 / k$ 是溫差減半所需的時間，在曲線上的每一點都相同。

公式

量	符號	定義
該時刻的溫度	$T(t)$	$T_{env} + (T_0 - T_{env})\,e^{-k t}$
達到目標的時間	$t$	$-\dfrac{1}{k}\ln\!\left(\dfrac{T_{tgt} - T_{env}}{T_0 - T_{env}}\right)$
冷卻常數	$k$	$-\dfrac{1}{t}\ln\!\left(\dfrac{T_m - T_{env}}{T_0 - T_{env}}\right)$
時間常數	$\tau$	$1 / k$
半衰期	$t_{1/2}$	$\ln 2 / k$

目標溫度與量測溫度都必須介於 $T_{env}$ 與 $T_0$ 之間，因為曲線只會從 $T_0$ 朝 $T_{env}$ 移動。

範例演算

把一杯咖啡以 $T_0 = 90\,^{\circ}\text{C}$ 倒入 $T_{env} = 20\,^{\circ}\text{C}$ 的房間，冷卻常數為 $k = 0.05\ \text{min}^{-1}$。$t = 10$ 分鐘後溫度是多少？

步驟 1 — 初始溫差：

$$\Delta T_0 = T_0 - T_{env} = 90 - 20 = 70\,^{\circ}\text{C}$$

步驟 2 — 衰減因子：

$$e^{-k t} = e^{-0.05 \times 10} = e^{-0.5} \approx 0.6065$$

步驟 3 — 10 分鐘後的溫度：

$$T = T_{env} + \Delta T_0\,e^{-k t} = 20 + 70 \times 0.6065 \approx 62.5\,^{\circ}\text{C}$$

十分鐘後，咖啡從 90 °C 降到約 62.5 °C。其時間常數為 $\tau = 1/0.05 = 20$ 分鐘，半衰期為 $\ln 2 / 0.05 \approx 13.9$ 分鐘——因此每 14 分鐘，與室溫之間的剩餘溫差就減半一次。

由量測求出冷卻常數

冷卻常數是物體與其環境的性質——表面積、材質，以及空氣繞過它時是否順暢——通常靠量測而非查表得到。在已知的某個時刻多量一次溫度，再改寫定律：

$$k = -\frac{1}{t}\ln\!\left(\frac{T_m - T_{env}}{T_0 - T_{env}}\right)$$

以上面的咖啡為例，假設 10 分鐘後讀到 $T_m = 60\,^{\circ}\text{C}$，則

$$k = -\frac{1}{10}\ln\!\left(\frac{60 - 20}{90 - 20}\right) = -\frac{1}{10}\ln(0.571) \approx 0.056\ \text{min}^{-1}$$

一旦知道 $k$，往後整條曲線——以及達到任何可入口目標溫度所需的時間——都隨之確定。

溫差如何隨時間收斂

經過時間	剩餘溫差 $e^{-kt}$	備註
$0$	100%	初始溫差
$\tau = 1/k$	36.8%	一個時間常數
$t_{1/2} = \ln 2/k$	50%	一個半衰期
$2\tau$	13.5%
$3\tau$	5.0%
$5\tau$	0.7%	幾乎穩定

實際應用

這條定律是估算冷卻的日常利器。它決定熱菜上桌前要靜置多久，指引讓食物安全通過危險溫度帶的冷卻排程，也出現在鑑識科學中——死後體溫的下降可用來粗略推估經過的時間。工程師以同一個指數函數估算電子元件的安定時間，並確認元件能在規定的時間窗內達到安全溫度。

限制

牛頓定律是一種近似，最適用於熱量主要藉對流散入溫度幾乎不變的大型環境、且溫差不大的情形。當物體很燙時，輻射會佔主導，散熱依循史蒂芬–波茲曼定律的四次方關係而非線性關係，因此冷卻比單一常數所預測的更快。此模型還假設物體溫度均勻、環境不會升溫；中心仍冷的厚實烤肉，或在物體周圍升溫的小型密閉盒，都會偏離這條簡單曲線。

常見問題（FAQ）

什麼是牛頓冷卻定律？

牛頓冷卻定律指出，物體溫度變化的速率與其溫度和周圍環境溫度之差成正比。以符號表示為 dT/dt = −k(T − T_env)，其解為指數曲線 T(t) = T_env + (T₀ − T_env)·e^(−kt)。

由於驅動整個過程的是溫差，當物體遠比環境熱時冷卻很快，隨著溫差縮小則逐漸變慢——這正是咖啡起初迅速變涼、之後卻停留在略高於室溫的原因。

如何求出冷卻常數 k？

冷卻常數通常無法事先得知，需經量測求得。記下初始溫度、環境溫度，以及某個已知時刻的溫度，再對冷卻定律解出 k：k = −ln[(T_m − T_env)/(T₀ − T_env)] / t。

例如在 20 °C 的房間中，90 °C 的咖啡於 10 分鐘後降到 60 °C，則 k = −ln[(60 − 20)/(90 − 20)] / 10 分 ≈ 0.056 min⁻¹。本計算機的「冷卻常數」模式所做的正是這項計算。

這條定律在什麼情況下是良好近似？

當熱量主要透過對流散入溫度幾乎不變的大型環境，且溫差不大時，牛頓定律成立得很好。它假設單一的冷卻常數、物體內部溫度均勻，以及環境溫度固定。

當輻射為主時準確度較差——溫差很大時，散熱依循史蒂芬–波茲曼定律的四次方關係而非線性關係——或當環境本身明顯升溫（例如小型密閉容器）時，也會偏離。

同一條公式也能描述升溫嗎？

可以。同一個方程式也能描述物體朝較熱環境升溫的情形，例如放在桌上的冷飲。若初始溫度低於環境溫度，(T₀ − T_env) 項為負，於是曲線朝環境值上升而非下降。

無論哪種情形，物體都會趨近環境溫度而不會越過，時間常數 τ = 1/k 描述了溫差在兩個方向上縮小的快慢。