最後更新：2026-07-13

克卜勒第三定律

克卜勒第三定律把描述一條軌道的三件事串在一起：與所環繞天體的距離、該中心天體的質量，以及繞一圈所需的時間。以牛頓的形式寫成 $T^2 = 4\pi^2 a^3/(GM)$——週期的平方隨距離的立方而增大。本計算機把這一個關係改寫成三種形式，讓你能由距離與質量求週期、由已知週期反推軌道距離，甚至由測得的軌道秤出中心天體的質量。

公式與三種形式

其中 $a$ 是半長軸（平均軌道距離，圓形軌道時即為半徑），$M$ 是被環繞天體的質量，$G = 6.674\times10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$ 是重力常數。環繞天體本身的質量從不出現：繞同一顆恆星、位於相同距離的一粒塵埃與一顆衛星，繞一圈所需的時間完全相同。

太陽系單位的捷徑

克卜勒第三定律之所以對行星如此好用，靠的是巧妙的單位選擇。把距離以天文單位（1 AU 是地日距離）、質量以太陽質量（1 M☉ 是太陽的質量）、時間以年來量，$4\pi^2/(GM)$ 這一團就變成 $1/M$。定律於是化為：

其中 $T$ 以年計、$a$ 以 AU 計、$M$ 以太陽質量計。本計算機內部正是使用這個形式，因此它的預設值——地球軌道——會給出一個乾淨的答案。

範例：地球繞太陽

對地球而言，半長軸為 $a = 1\ \text{AU}$，中心質量為 $M = 1\ \text{M}_\odot$：

同樣的數值換成完整的 SI 單位——$a = 1.496\times10^{11}\ \text{m}$、$M = 1.989\times10^{30}\ \text{kg}$——代入 $T = 2\pi\sqrt{a^3/GM}$，得到約 $3.156\times10^{7}\ \text{s}$，也就是誤差不到百分之一極小分數的一年。AU 形式只是把算術藏了起來。

範例：外行星

a³ 的縮放正是外太陽系運行如此緩慢的原因。木星位於約 $a = 5.20\ \text{AU}$，於是

與木星實際的 11.86 年公轉相符。位於約 30 AU 的海王星，繞太陽一圈需要 $\sqrt{30^3} \approx 164$ 年——一個海王星年，比這顆行星為科學所知的時間還要長。

秤量一顆恆星

反過來用，克卜勒第三定律是天文學最重要的工具之一：它能量出你永遠無法放上天平的質量。只要能看到一個伴星體在公轉——行星繞恆星、恆星繞黑洞——並量出它的週期與半長軸，$M = 4\pi^2 a^3/(GT^2)$ 便給出被環繞天體的質量。太陽的質量、系外行星母恆星的質量，以及銀河系中心超大質量黑洞的質量，都是這樣測定的。

假設與限制

此處使用的定律假設一個天體遠比另一個重，因此中心天體幾乎靜止不動，較小者繞其運行。當兩個質量相當時——例如雙星——公式中的 $M$ 是兩個質量之和，兩個天體都繞它們的共同質心運行。此外，這個結果是理想的二體值：它忽略了其他行星的牽引、真實天體的輕微扁率，以及相對論效應，而這些都會在漫長的時間裡使真實軌道產生微小而緩慢的偏移。