最後更新：2026-07-01

彈簧振子（簡諧運動）計算

掛在彈簧上的質量是簡諧運動的教科書範例。把質量拉到一旁再放開，彈簧便以與位移成正比的力把它拉回——這就是虎克定律 $F = -kx$。這個線性回復力使質量以固定的節奏來回振盪，而這個節奏只由兩個量決定：質量 $m$ 與彈簧常數 $k$。

本計算器由質量與彈簧常數求出週期 $T$（完成一個完整循環的時間）、頻率 $f$（每秒循環數）與角頻率 $\omega$（弧度每秒）。

決定節奏的因素

彈簧越硬振盪越快，質量越大振盪越慢：

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}, \qquad f = \frac{1}{T}$$

由於兩個量都在平方根之內，影響相當平緩：質量變為四倍只會讓週期變兩倍，硬度變為四倍也只會讓週期減半。請注意式中完全沒有重力——水平彈簧與鉛直彈簧以完全相同的節奏振盪，即使在軌道上系統也能精確計時。這正是調節腕錶的是游絲而非單擺的原因。

公式

量	符號	意義
質量	$m$	在彈簧上振盪的質量
彈簧常數	$k$	每單位伸長所需的力，N/m
角頻率	$\omega$	振盪速率，$\omega = \sqrt{k/m}$
週期	$T$	一個循環的時間，$T = 2\pi\sqrt{m/k}$
頻率	$f$	每秒循環數，$f = 1/T$

計算範例

一個 0.5 kg 的方塊放在硬度 20 N/m 的彈簧上。角頻率為：

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{20}{0.5}} = \sqrt{40} = 6.325\ \text{rad/s}$$

週期為一個完整循環：

$$\begin{aligned} T &= 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \\ &= 2\pi\sqrt{\frac{0.5}{20}} \\ &= 2\pi \times 0.1581 \\ &= 0.9935\ \text{s} \end{aligned}$$

頻率是它的倒數，$f = 1/T = 1.007$ Hz——每秒略多於一次完整振盪。輸入質量 0.5 kg、彈簧常數 20 N/m 即可重現這些結果。

彈簧振子與單擺

彈簧振子與單擺都是簡諧振子，週期皆為 $2\pi\sqrt{\text{慣性}/\text{回復強度}}$ 的形式。差別在於回復力由什麼提供。單擺由重力回復，因此週期 $2\pi\sqrt{L/g}$ 取決於擺長與當地重力。彈簧自行提供回復力，因此週期 $2\pi\sqrt{m/k}$ 取決於質量與硬度，且不受重力影響。兩者都具有所有簡諧振子更深層的共同特性：週期與振幅無關。

振盪中的能量

質量振盪時，能量在兩種形式之間轉換。在兩端，質量瞬間靜止，全部能量以彈性能 $\tfrac{1}{2}kA^2$ 儲存在彈簧中（$A$ 為振幅）。在中點，彈簧恢復原長，全部能量為動能 $\tfrac{1}{2}mv_\text{max}^2$。在無摩擦的理想系統中，總能量保持不變，兩種形式每一循環交換兩次。

限制

這些公式假設在整個運動範圍內遵守虎克定律的理想彈簧、無質量的彈簧，以及沒有摩擦或空氣阻力。真實彈簧本身有質量，會略微降低頻率；阻尼在較弱時會逐漸縮小振幅而不太改變週期。若把彈簧拉伸到不再呈線性，運動就不再是簡諧運動，這些結果也不再適用。

常見問題（FAQ）

彈簧振子的公式是什麼？

掛在硬度為 k 的彈簧上、質量為 m 的物體會做簡諧運動。角頻率為 ω = √(k/m)，完成一次完整振盪的週期為 T = 2π√(m/k)，頻率則是週期的倒數 f = 1/T。週期以秒計，頻率以赫茲（每秒振盪次數）計，角頻率以弧度每秒計。

質量與彈簧常數如何影響週期？

週期隨質量的平方根增大，隨硬度的平方根減小。質量變為四倍時週期變為兩倍，彈簧常數變為四倍時週期減半。軟彈簧配重物振盪緩慢，硬彈簧配輕物振盪快速。

它和單擺有什麼不同？

兩者都是簡諧振子，但回復力的來源不同。單擺由重力提供回復力，因此週期取決於擺長與當地重力，與質量無關。彈簧振子由彈簧提供回復力，因此週期取決於質量與彈簧常數，在無重力環境中也照常運作——這正是太空船與時鐘的調速元件採用彈簧振子而非單擺的原因。

振幅會改變週期嗎？

對於遵守虎克定律的理想彈簧而言，不會。週期只取決於質量與彈簧常數，與放開前把物體拉開多遠無關。這種與振幅無關的特性（等時性）是簡諧運動的標誌，也是彈簧振子能穩定計時的原因。只有當彈簧被拉伸到不再呈線性時，這個結論才會失效。